زنگ‌تفریح شماره ۱۶۹
در بحث مجموعه‌ها یکی از ویژگی‌های هر مجموعه، اندازه یا بزرگی آن مجموعه است. برای مثال مجموعه‌های {1,2,3} یا {a,b,c} هر کدام سه عضو دارند. پس می‌توان گفت که اندازه هر یک از این مجموعه‌ها ۳ است. ولی مجموعه‌هایی وجود دارند که نمی‌توان تعداد اعضای آنها را با یک عدد (منظور عدد طبیعی) مانند ۱، ۲ یا n نشان داد. برای مثال مجموعه اعداد طبیعی{...,N={1,2,3,4 اینگونه است. هیچ عددی (منظور عدد طبیعی) وجود ندارد که بتوان اندازه N را با آن بیان کرد. به همین دلیل گاهی اوقات گفته می‌شود که اندازه N بینهایت است یا این مجموعه را نامتناهی می‌خوانند. این تعبیرها تقربیا درست هستند ولی به هیچ وجه دقیق نیستند. یعنی مجموعه‌هایی وجود دارند که تعداد اعضای آنها نیز نامتناهی است امّا بزرگتر از N هستند. به زودی با معنی کلمه بزرگتر بیشتر آشنا خواهیم شد. در این مقاله قصد داریم مفهوم اندازه یک مجموعه را به طور دقیق تعریف کنیم و انواع مجموعه‌های با تعداد نامتناهی عضو را بررسی کنیم.
اندازه مجموعه:
مجموعه دلخواه A را در نظر بگیرید. اگر تعداد عناصر A متناهی باشد، آنگاه اندازه A را همان تعداد عناصر مجموعه تعریف می‌کنیم و آن را با |A| نمایش می‌دهیم. مثلا مجموعه
میوه‌ها={سیب،گلابی،انگور،خرمالو،هندوانه}
پنج عضو دارد، پس می‌گوییم اندازه این مجموعه ۵ است. اغلب به جای کلمه اندازه از عباراتی مانند عدد کاردینال، عدد اصلی یا کاردینالیتی استفاده می‌شود. به طور کاملا مشخص مشاهده می‌شود که اگر A مجموعه‌ای متناهی و B⊂A زیر مجموعه‌ای اکید از A (یعنی B≠A) باشد آنگاه |B|<|A|.
برای اینکه عدد اصلی را برای مجموعه‌های با تعداد نامتناهی عضو تعریف کنیم؛ با ساده‌ترین این مجموعه‌ها آغاز می‌کنیم. همانطور که اشاره کردیم مجموعه اعداد طبیعی {...,N={1,2,3,4 نامتناهی است. عدد اصلی N را با نماد ℵ0 (بخوانید الف-صفر) نمایش می‌دهیم. اگر ℵ0 را یک عدد بخوانیم شاید از نظر شما مشکل‌‌ساز باشد، زیرا مفهوم عدد اغلب برای نشان دادن کوچکی و بزرگی یا دوری و نزدیکی استفاده می‌شود. ولی ما می‌دانیم که ℵ0 بزرگتر از هر عددی است. نامیدن ℵ0 به عنوان یک عدد به این دلیل است که تلاش ما در اینجا برای تعریف اندازه مجموعه‌هاست و به نظر می‌رسد نسبت دادن کلمه عدد به کلمه اندازه طبیعی باشد.
قبل از تعریف اعداد اصلیِ دیگر، به سراغ بررسی بیشتر ℵ0 و مفهوم اندازه برویم. دو مجموعه A و B را هم‌اندازه گوییم اگر |A|=|B|. در مورد مجموعه‌های متناهی این تعریف بسیار واضح است. پس تعریف را به گونه‌ای مطرح می‌کنیم که برای مجموعه نامتناهی نیز به طور مشخص کاربرد داشته باشد. دو مجموعه A و B را هم‌اندازه گوییم اگر یک تابع دوسویی (یک‌به‌یک و پوشا) مانند f:A→B بین آنها موجود باشد. یعنی تابعی موجود باشد که عناصر A و B را به طور منحصر به فرد با یکدیگر متناظر کند. این تعریف برای مجموعه‌های متناهی همچنان ساده و واضح به نظر می‌آید ولی در مورد مجموعه‌های نامتناهی مساله جالب‌تر است. به عنوان مثال پارادوکس هیلبرت برای گراند هتل را برای فهم بیشتر ذکر می‌کنیم.
پارادوکس هیلبرت برای گراند هتل:
فرض کنید شما مسئول پذیرش یک هتل بسیار بزرگ با اتاق‌هایی به تعداد N|=ℵ0| هستید. کار هتل شما آنقدر پر رونق است که همه اتاق‌ها پر شده‌اند. امروز یک مسافر جدید به پذیرش مراجعه می‌کند و از شما می‌خواهد که یک اتاق به او اجاره دهید. شاید در اولین نظر گمان کنید که باید این مسافر را در نهایتِ ناراحتی مایوس کنید. ولی ریاضیدان نامدار دیوید هیلبرت یک پیشنهاد برای شما دارد که همه از جمله شما و مسافر جدیدتان را خوشحال می‌کند. هیلبرت می‌گوید: مسافر اتاق شماره ۱ را به اتاق شماره ۲ بفرستید و مسافر اتاق شماره ۲ را به اتاق شماره ۳ و همینطور مسافر اتاق شماره n را به اتاق شماره n+۱. در اینصورت همه مسافران شما در اتاق‌های این هتل اقامت دارند؛ و بدون اینکه کسی اتاقش را تحویل دهد شما اتاق شماره ۱ را برای مسافر جدید خالی کرده‌اید. پس شما می‌توانید روی درب ورودی هتل‌تان این تابلو را نصب کنید.
این پارادوکس فقط یک مثال ساده از اندازه مجموعه‌های نامتناهی است. نتیجه فوری این مثال به ما می‌گوید که مجموعه‌های {...,N={1,2,3,4 و A={2,3,4,5,…}⊂N با هم هم‌اندازه‌اند. به بیان دقیق‌تر تابع زیر دوسویی است.
f:N→A ,f(n)=n+1
توجه شما را به یک مثال جالب دیگر از زیر مجموعه‌های N جلب می‌کنیم. می‌دانیم N از اعداد زوج و فرد تشکیل شده است و به نظر می‌رسد اندازه مجموعه اعداد زوج (که آن را با N۲ نشان خواهیم داد) باید نصف اندازه N باشد؛ ولی در واقع این دو مجموعه با هم هم‌اندازه‌اند زیرا تابع g:N→N۲ با ضابطه g(n)=۲n یک تابع دوسویی است. با همین روش می‌توان نشان داد که اندازه N۱ (مجموعه اعداد فرد) نیز ℵ0 است. بنابراین N=N۱∪N۲ و اندازه هر سه مجموعه برابر است با ℵ0 و در نتیجه:
ℵ0=|N|=|N۱|+|N۲|=ℵ0+ℵ0 ⇒ ℵ0=ℵ0+ℵ0
همانطور که می‌بینید محاسبات در اندازه مجموعه‌های نامتناهی کمی متفاوت است . این پایان قصه نیست. زیرا مجموعه‌های دیگری وجود دارند که عدد اصلی آنها بزرگتر (و بسیار بزرگتر) از ℵ0 است. قبل از پرداختن به اعداد کاردینال بزرگتر، یک مثال دیگر از مجموعه‌های با اندازه ℵ0 ارائه می‌دهیم. ابتدا دقت کنید که به سادگی می‌توان نشان داد اندازه Z مجموعه اعداد صحیح نیز برابر است با ℵ0 و در نتیجه اندازه مجموعه Z×N (ضرب دکارتی دو مجموعه) نیز با ℵ0 برابر است. حال تابع زیر را از Q مجموعه اعداد گویا به Z×N در نظر بگیرید.
(f:Q→Z×N ,f(a/b)=(a,b
در مورد تابع فوق به این نکات دقت کنید که؛ اعداد a و b را نسبت به هم اول فرض کرده‌‌ایم و فرض دیگرمان بر این بوده است که اگر a/b یک عدد منفی باشد، حتما علامت منفی در صورت کسر قرار دارد. این تابع به وضوح یک‌به‌یک است پس Q|≤|Z×N|=ℵ0|. از طرف دیگر می‌دانیم که Q یک مجموعه با تعداد نامتناهی عضو است، پس، داریم|ℵ0≤|Q و در نتیجه Q|=ℵ0|.
مجموعه‌هایی را که اندازه آنها کوچکتر یا مساوی ℵ0 باشد، مجموعه‌ّای شمارا می‌نامیم. دلیل این اسم‌گذاری آن است که؛ تابع دوسویی بین این مجموعه‌ها و مجموعه اعداد طبیعی این امکان را فراهم می‌کند تا بتوانیم اعضای مجموعه‌های شمارا را فهرست کنیم یا به عبارت دیگر بشماریم. به عنوان مثال یک روش برای شمردن یا فهرست کردن مجموعه Q روش قطری کانتور است که در شکل زیر می‌بینید.
دقت کنید که جدول فوق فقط اعداد گویای مثبت را می‌شمارد و در رویه این شمارش کسرهایی که صورت و مخرج آنها نسبت به هم اول نیستند از رویّه شمارش حذف می‌شوند، زیرا این اعداد قبلا شمرده شده‌اند. مجموعه اعداد گویای منفی نیز به همین شکل قابل شمارش‌اند.
حال به اختصار به معرفی مجموعه‌هایی با اندازه بزرگتر از ℵ0 می‌پردازیم. تا اینجا اندازه مجموعه Q⊂R را محاسبه کردیم. شاید به این فکر باشید که اندازه مجموعه R نیز باید ℵ0 باشد؛ ولی جورج کانتور (با اثباتی نه چندان آسان) نشان داد که هیچ تابع دوسویی بین Q و R یا N و R وجود ندارد. از اینرو اندازه مجموعه R نمی‌تواند ℵ0 باشد. دانشمندان اندازه این مجموعه را ℵ1 (بخوانید الف-یک) یا ∁ (بخوانید سی) نامیدند. نکته این است که ℵ1 با مجموعه N رابطه جالبی دارد. در واقع اگر نماد 2A (بخوانید ۲ به قوّه A) نمایانگر مجموعه همه زیرمجموعه‌های A باشد، آنگاه می‌توان نشان داد که |ℵ0= |2N و در نتیجه یک تابع دوسویی بین R و 2N موجود است. قرار دادن اندیس صفر و یک در پایین نماد ℵ دلیل دارد. زیرا قرار است این اعداد به همین شکل بزرگتر شوند. اندازه مجموعه 2R از ℵ1 بزرگتر است و این اندازه را |ℵ2=|2R می‌نامیم. به همین ترتیب ℵ3 تعداد همه زیر مجموعه‌های مجموعه 2R و همینطور الی آخر.
تذکر این نکته خالی از لطف نیست که در برخی متون از نمادهای زیر استفاده می‌کنند.
....,ℵ1:=2ℵ0 , ℵ2:=2ℵ1
فرض پیوستار: این فرض ادعا می‌کند که بین ℵ0 و ℵ1 هیچ عدد کاردینال دیگری وجود ندارد. به بیان دقیق‌تر هیچ مجموعه‌ای با اندازه x وجود ندارد که از ℵ0 و از ℵ۱ کوچکتر باشد. البته همانطور که از عنوان آن پیداست این فقط یک فرض است و درستی یا نادرستی آن هنوز اثبات نشده است. اصولا قبول یا ردّ این فرض به نظریات متفاوتی در نظریه مجموعه‌ها منجر می‌شود. کانتور این فرض را تعمیم داد و بیان کرد که: اندازه هر مجموعه نامتناهی باید یکی از اعداد کاردینال ...,ℵ0,ℵ1,ℵ2 باشد.
منابع: