المپياد جهاني فيزيك
 برندگان مسابقه‌ي المپياد فيزيك
 
 بيشينه‌ي g (مسابقه‌ي شماره‌ي 85)
بيشينه‌ي g (مسابقه‌ي شماره‌ي 85)مسابقه فيزيك
تغيير g...سؤال همراه با جواب

بيشينه‌ي g









سؤال

يك جسم سماوي مثلاً يك سياره را در نظر بگيريد كه داراي جرم M وحجم V و چگالي يكنواخت V/M است. اگر اين جسم كروي باشد، شعاع آن R=(3V/4{π})1/3 و شتاب سقوط آزاد سطحي آن g=GM/R2=GM(4{π}/3V)2/3 است (Gثابت گرانش). تمام شكلهاي ممكن براي جسم را در نظر بگيريد. بزرگترين مقدار g كه در نقطه اي روي سطح مي‌تواند به دست آيد چيست؟ و با چنين شتابي شكل جسم چگونه خواهد بود؟


حل
جرم در حالت ايده‌آل تقارن محوري دارد و شكل آن در تصوير زير آمده است. نقطه‌ي سبز رنگ به معني نقطه‌ي بيشينه‌ي شتاب سقوط آزاد است. جرم مي‌تواند به‌وسيله‌ي فاصله‌ي گفته شده از نقطه‌اي كه در شتاب ماكزيمم به عنوان تابع زاويه‌ي تتا از محور تقارن (خط مشكي عمود) يافت مي‌شود، توصيف مي‌شود.

شتاب در نقطه‌ي سبز چنين خواهد بود:

اين تنها 2.6 درصد بزرگ‌تر از اين شتاب روي سطح سياره‌ي كروي است.



شكل 1.




جواب

براي تكانه‌ پيش از اين مي‌دانستيم كه جرم بايد تقارن محوري داشته باشد. يك حلقه‌ي باريك از ماده را به شكل لايه‌اي روي سطح جرم در نظر بگيريد (همانطور كه در شكل مي‌بينيد، مركز حلقه بر محور تقارن منطبق است و سطح آن نسبت به محور عمودي است). اگر جرم حلقه dM باشد و فاصله‌ي بين نقاط حلقه و "نقطه‌ي سبز" هم r، سهم حلقه براي شتاب سقوط آزاد برابراست با:

شكل2.

اگر اين حلقه را از سطح به جاي ديگري روي سطح منتقل كنيم ، زاويه‌ي تتا تغيير مي‌كند. وقتي شكل در حالت ايده‌آل است ثابت است، يعني با تغييرات بي‌نهايت كوچك نمي‌بايست تغيير كند. اگر مقدار  ثابت باشد، اين شرايط برقرار مي‌شود. ثابت بودن R به معناي بيشينه‌ي قطر جسم است. يك بار ديگر شكل جسم به دست مي‌آيد. به سادگي در مي‌يابيم كه (با استفاده از انتگرال‌گيري در شرايط مرزي*) حجم  V=4/15πR3(ماداميكه شتاب در نقطه‌ي gبه‌دست مي‌آيد)**. با توضيحي كه در بالا ارائه شده با استفاده از استدلال مشابه مي‌توانيد نشان دهيد كه جسم بايد تقارن محوري داشته باشد.تصور كنيد كه اينطور نباشد يعني حلقه‌ي توصيف شده در بالا كامل نباشد، پس به راحتي مي‌بينيد كه سقوط آزاد با جابه‌جايي مواد سطحي افزايش مي‌يابد.

1387/8/22لينک مستقيم

فرستنده :
زوارکی HyperLink HyperLink 1390/12/14
مـتـن : جوابتون کاملن مبهمه.
یعنی چی که اومدید شکل رو با معادله r^2=R^2 costheta توصیف کردید؟؟
تقارن داره قبول ولی کی گفته معادلش اینیه که شما میگی؟؟میامدید یه معادله دلخواه میگرفتید بعد ثابت میکردید نه اینکه یک ضرب بگید معادلش اینه!!
پاسـخ :سلام، با توجه به نوع سؤال و سطح سؤال المان گيري رو توضيح نداديم. در كتابهاي مكانيك هست. اينكه يعني چي معادله اين هست (المان البته) به خود المان‌گيري ما برميگرده. ميتوني تقارن ديگه‌اي رو انتخاب كني و ببيني راه حل چقدر تغيير ميكنه. و در جواب تأثيري داره يا خير. المان‌گيري لزوماً هم دلخواه نيست. اينجا بهترين انتخاب اين بوده. و ديفرانسيل مياد زير انتگرال و انتگرال با اين المان‌ها پتانسيل رو ميده. براي مطالب بيشتر هاليدي يا اوهانيان. جلد اول. يا هركتاب مكانيك تحليلي يا كلاسيك. براي اون المان شرايط مرزي تعيين كن ببين چي ميشه. و اصلاً چرا cos teta؟ اين رابطه اتفاقا هندسيه و از جايي آورده نشده. از شكل بصورت هندسي نوشته ميشه.

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/9/6
مـتـن : فکر می کنم اگر به صفحه ی گستره برود بیشترین شتاب رو دارد .. اگر آن را یک استوانه با قاعده ی خیلی بزرگ فرض کنیم و ارتفاع خیلی کم(صفحه) . وسط قاعده شتاب بسیار زیاد است
همچنین اگر قاعده را خیلی کوچک فرض کنیم و ارتفاع را زیاد (به صورت میله) شتاب در سر میله میشوذ GM
پاسـخ :كمي مبهم جواب دادي. ولي منظورت رو به اين صورت در ميارم: منظورت از وسط قاعده بايد مركز جرم باشه تا بگيم نيروي وارده به مركز جرم است. ولي مهم اينه كه بگي بدون فرض‌هاي حاص در مورد شكل، يعني مستقل از اندازه، مِ‌خوايم ببينيم چه اتفاقي براي شكل اين جرم مي افته.

فرستنده :
م.جلالوند HyperLink HyperLink 1387/8/28
مـتـن : مقدار g بیشینه ندارد (یک مثال برای این موضوع سیاه چاله ها و ستاره های نوترونی هستند) و همانطور که از معادله بالا پیداست با افزایش جرم و کاهش حجم شتاب جاذبه زیاد می شود. در شتاب های جاذبه بسیار بالا جسم به صورت کره فوق چگال در می آید.
پاسـخ :نه اينجا تغيير شكل مهمه! قطره‌ي باروني رو فرض كن كه از ارتفاع دلخواه به سمت زمين مياد. اين قطره گرانش زمين رو تجربهخ مي كنه. اين گرانش باعث تغيير شكل ميشه. البته شايد اول به ذهنت برسه كه خُب مقاومت هوا مي‌تونه اين كارو انجام بده. ولي از مثال خودت استفاده ميكنم كه منظور اون هم نيست. براي مثال عيني‌تر مي‌توني دو ستاره‌ِ همدم رو در نظر بگيري كه تأثير گرانشي زيادي روي هم دارند و باز هم دقيق‌تر يك سياه‌چاله كه ستاره‌ي همدم خودش رو مي بلعه. مثال زياد در اين باره. حالا به نظرت وضعيت اين مسأله به چه صورت ميشه؟

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 
 المپياد فيزيك

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4058
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4058