سؤال

يک مبادله کننده‌ي گرمايي با طول l از يک لوله با سطح مقطع 2S و لوله ديگري با سطح مقطع S که از درون اولي مي‌گذرد، تشکيل شده است. ديواره‌هاي لوله ها نازک هستند. کُل سيستم نسبت به محيط اطراف عايق بندي شده است. مايعي با چگالي ρ  و ظرفيت گرمايي ويژه C با سرعت V به درون لوله‌ها پمپ مي‌شود.

دماهاي اوليه مايع درون مبادله کننده به ترتيب T_i1 و T_i2 هستند. دماهاي نهايي مايع درون مبادله کننده را تعيين کنيد، اگر مايع درون لوله‌ها در خلاف جهت هم حرکت کنند. فرض کنيد مقدار گرماي منتقل شده در واحد زمان از واحد مساحت متناسب با اختلاف دما باشد. اين تناسب را با ضريب تناسب k نشان مي‌دهيم. از رسانش گرمايي مايع در جهت جريان صرف نظر کنيد.

جواب

فرض مي‌کنيم مايع جاري در لوله‌ي داخلي ۲ سرد شده. يعني T_I2>T_f2 و در نتيجه T_I1<T_f2. از آنجايي که سطح مقطع مايع جريان يافته در لوله‌ي خارجي ۱، (2s-s=s) برابر سطح مقطع مايع جريان يافته در لوله‌ي خارجي ۲ بوده، و سرعت‌هاي آن‌ها باهم برابر است. کاهش در دماي مايع جريان يافته در لوله‌ي ۲ از ورود تا خروج آن برابر کاهش در دماي مايع جريان يافته‌ در لوله‌ي ۱ است. به بيان ديگر، تغييرات دما در مايعات در طول مبادله کننده‌ي گرمايي ثابت مي‌ماند، بنابراين:

(۱)

 

با در نظر گرفتن ثابت بودن تغييرات دما، نسبت گرماي منتقل شده در طول مبادله کننده گرمايي ثابت است. مقدار گرماي Q منتقل شده از مايع جاري در لوله‌ي ۱ در زمان t برابر است با:

(۲)

که S_lat سطح جانبي لوله‌ي داخلي است. 

که r شعاع لوله‌ي داخلي است. يعني:

گرماي Q براي گرم کردن مايع جاري در لوله‌ي ۱ صرف مي‌شود. در طي زمان t جرم مايع جاري در لوله‌ي خارجي ۱ برابر m=ρvtS است و دماي آن از T_t1 به T_f1 افزايش مي‌يابد. در نتيجه:

با برابر قراردادن عبارت‌هاي ۲ و ۳ در مي‌يابيم:

بنابراين مي‌توانيم T_f1 و سپس با استفاده از معادله‌ي ۱، T_f2 را پيدا کنيم.