فرض مي‌كنيم شيء كوچك به‌سمت راست حركت مي‌كند. هم‌چنين فرض مي‌كنيم .gif)
و .gif)
به‌ترتيب سرعت شيء در امتداد افقي و عمودي باشد در اين صورت با توجه به حركت ذره به‌سمت راست مقادير سرعت‌ها به‌طور نسبي مثبت خواهند بود.
اگر فرض كنيم سرعت نيم‌كره و مثبت باشد با توجه به قانون «بقاي اندازه حركت» خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 1)
اكنون اندازه حركت ذره را در زماني بررسي مي‌كنيم كه با زاويه‌ي .gif)
پايين‌تر از بالاي نيم‌كره قرار گرفته است. در چنين موقعيتي ذره بر روي سطحي مفروض با زاويه‌ي خواهد بود. بنابراين مختصات سه‌گانه‌ي سرعت آن از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطه‌ي 2)
براي بررسي صحت اين امر به اشيا در چهارچوب نيم‌كره نگاه كنيد. در چهارچوب مذكور، شيء با سرعت .gif)
به‌سمت راست و با سرعت به‌سمت پايين حركت مي‌كند. رابطه‌ي 2 بيانگر آن است كه شيء از زاويه‌ي صفر تا بر روي نيم‌كره باقي مي‌ماند.
اكنون از «قانون بقاي اندازه حركت» استفاده مي‌كنيم. برحسب ، شيء در فاصله‌ي .gif)
سقوط مي‌كند. با توجه به «قانون بقاي اندازه حركت» چنين خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 3)
با مقايسه‌ي رابطه‌هاي 1 و 2 مقدار .gif)
اين‌گونه محاسبه مي‌شود:
(رابطه‌ي 4)
كه در آن داريم:
(رابطه‌ي 5)
رابطه‌ي 4 از . برابر صفر آغاز و با افزايش افزايش مي‌يابد. سپس به يك مقدار حداكثر قبل از افتادن رسيده و نهايتاً در .gif)
به صفر بالغ مي‌شود. اما به هر حال، نمي‌تواند به‌طور عملي كاهش يابد به‌خاطر اين‌كه نيرويي براي اعمال بر روي شيء به‌سمت چپ وجود ندارد. بنابراين آن‌چه اتفاق مي‌افتد آن است كه ابتدا افزايش مي‌يابد كه در نتيجه‌ي اعمال نيروي غير صفري است كه تا زمان وجود تماس كماكان وجود دارد.
اما پس از آن به مقدار حداكثر خود مي‌رسد كه كمك مي‌كند نيروي عمود بر نيم‌كره به صفر متمايل شده و تماس خود را با نيم‌كره قطع كند. پس از قطع تماس با سطح نيم‌كره، شيء به حكت خود با سرعت ثابت ادامه مي دهد.
بنابراين هدف ما آن است كه مقداري از زاويه‌ي را محاسبه كنيم كه در آن در رابطه‌ي 4 حداكثر باشد. بنابراين اين مقدار با مشتق گرفتن از رابطه‌ي 4 و مساوي صفر قرار دادن آن به‌دست مي‌آيد.
(رابطه‌ي 5)
اين رابطه‌ي مورد انتظار ما بود كه ميزان را مشخص مي‌كند. يك معادله‌ي درجه‌ي سوم كه به‌راحتي نمي‌توان مقدار را توسط آن تعيين كرد.
در حالت خاص: .gif)
داريم:
(رابطه‌ي 6)
با آزمايش .gif)
، يك جواب رابطه‌ي 6 به‌دست مي‌آيد بنابراين داريم:
(رابطه‌ي 7)
ريشه‌ي رابطه‌ي درجه‌ي 2 فوق عبارت است از:
(رابطه‌ي 8)
با در نظر گرفتن چهارچوب نيم‌كره، سرعت افقي ذره از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:
(رابطه‌ي 9)
سرعت كلي اين چهارچوب از تقسيم سرعت افقي ذره بر .gif)
به‌دست مي‌آيد:
(رابطه‌ي 10)
شيء نيم‌كره را زماني ترك مي‌كند كه نيروي عمود بر آن بر سطح نيم‌كره برابر «صفر» باشد. بنابراين نيروي شعاعي وارد بر آن با توجه به .gif)
برابر رابطه‌ي ذيل خواهد بود:
(رابطه‌ي 11)
ممكن است از نيروهايي صرفنظر كرد كه ممكن است موجب شتاب چهارچوب نيم‌كره شوند. اما به هر حال، نيم‌كره در لحظه‌اي كه شيء تماس خود را با آن قطع مي‌كند شروع به شتاب گرفتن نمي‌كند زيرا نيروي عمود بر سطح نيم‌كره در آن لحظه برابر «صفر» است.
بنابراين رابطه‌ي 11 دقيقاً شبيه به مسأله‌ي مشابه در حالت نيم‌كره‌ي ثابت خواهد بود. تفاوت دو مسأله در اندازه‌ي سرعت .gif)
است.
با جايگذاري رابطه‌هاي 10 و 4 در رابطه‌ي 11 چنين خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 12)
با ساده كردن رابطه‌ي فوق چنين خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 13)
رابطه‌ي فوق با خط دوم رابطه‌ي 5 معادل است. بنابراين جواب مسأله همانند ادامه‌ي راه‌حل اول است.
اجازه دهيد در مورد مقادير ويژه‌ي .gif)
صحبت داشته باشيم.
زماني كه .gif)
از رابطه‌ي 5 خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 14)
نتيجه ممكن است براي شما آشنا باشد.
زماني كه.gif)
از رابطه‌ي 5 خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 15)
بنابراين:
(رابطه‌ي 16)
به‌عبارت ديگر نيم‌كره فوراً به‌سرعت به‌سمت چپ حركت مي‌كند.
براي مقادير ديگر .gif)
، رابطه‌ي 5 را با استفاده از روابط مربوط به ريشه‌هاي يك معادله‌ي درجه‌ي سوم يا به‌سادگي با جايگذاري عددي قابل محاسبه است.
چند نتيجه‌ي ناشي از جايگذاري عددي در جدول 1 آمده است:
|
جدول 1 |
|
درجه
|
|
|
|
2/48 |
667/0 |
0 |
|
1/45 |
706/0 |
5/0 |
|
9/42 |
732/0 |
1 |
|
9/39 |
767/0 |
2 |
|
9/30 |
858/0 |
10 |
|
8/18 |
947/0 |
100 |
|
8/10 |
982/0 |
1000 |
|
10 |
1 |
∞ |