المپياد جهاني فيزيك
 برندگان مسابقه‌ي المپياد فيزيك
 
 طناب و سطح شيبدار (مسابقه‌ي شماره‌ي 33)
طناب و سطح شيبدار (مسابقه‌ي شماره‌ي 33)مسابقه فيزيك
چه نسبتي از طناب با سطوح شيبدار در تماس نيست؟ اين نسبت در چه مقدار از زاويه حداكثر است؟ ... سؤال همراه با جواب

طناب و سطح شيبدار





سؤال
طنابي بر روي دو سطح شيبدار كه با سطح افقي زاويه‌اي نظير  مي‌سازند مطابق شكل 1 قرار گرفته است. طناب داراي جرم يكنواخت بوده و ضريب اصطكاك آن برابر 1 است. فرض كنيد سيستم داراي تقارن راست به چپ است.

به‌نظر شما چه نسبتي از طناب با سطوح شيبدار در تماس نيست؟ اين نسبت در چه مقدار از زاويه‌ي  حداكثر است؟



شكل 1

جواب

جرم طناب را  و نسبتي از آن را كه در هوا معلق قرار دارد در نظر مي‌گيريم. اكنون به نيمه‌ي سمت راستي سيستم نگاهي مي‌كنيم. وزن طناب از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:





(رابطه‌ي 1)

براي اين‌كه طناب بر روي سطح شيبدار ثابت باقي بماند بايد وزن طناب با مؤلفه‌ي عمودي تنش (نيروي كششي) در نقطه‌اي كه آن بخش از طناب در تماس با سطح قرار دارد برابر باشد. مؤلفه‌ي عمودي تنش (نيروي كششي) طناب در نقطه‌ي تماس با سطح  از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:





(رابطه‌ي 2)

اكنون بخشي از طناب را در نظر بگيريد كه در سطح شيبدار سمت راست قرار دارد. جرم اين بخش از طناب از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:





(رابطه‌ي 3)

نيروي عمودي وارد شده از طرف سطح شيبدار از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:





(رابطه‌ي 4)

بنابراين از آن‌جايي كه ضريب اصطكاك برابر 1 است ، حداكثر نيروي اصطكاك از رابطه‌ي ذيل حاصل مي‌شود:





(رابطه‌ي 5)

نيروي اصطكاك بايد با جمع مؤلفه‌هاي نيروهاي جاذبه‌ي طناب در امتداد سطح يعني:‌ به‌علاوه‌ي تنش (نيروي كششي) طناب در قسمت پاييني آن (كه در بالا توضيح داديم) برابر باشند.

بنابراين داريم:






(رابطه‌ي 6)

با حل رابطه‌ي فوق داريم:





(رابطه‌ي 7)

كه در آن  از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:






(رابطه‌ي 8)

رابطه‌ي 7 نشان مي‌دهد يك تابع «اكيداً صعودي»‌ از  است (مي‌توانيد اين موضوع را بررسي كنيد). بنابراين حداكثر ميزان زماني حاصل مي‌شود كه تا آن‌جا كه ممكن است بزرگ باشد.

با استفاده از رابطه‌هاي مثلثاتي مربوط به خواهيم داشت:






(رابطه‌ي 9)

حداكثر مقدار  از برابر صفر قرار دادن مشتق رابطه‌ي 9 به‌دست مي‌آيد:




(رابطه‌ي 10)

بنابراين داريم:





(رابطه‌ي 11)

بنابراين حداكثر مقدار  از رابطه‌‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:



(رابطه‌ي 12)

با جايگذاري رابطه‌ي 12 در رابطه‌ي 7 خواهيم داشت:







(رابطه‌ي 13)

1386/7/19 لينک مستقيم

فرستنده :
aida HyperLink HyperLink 1386/7/22
مـتـن : mg = 2*T*sina
از طرفي: f=T+sina *Mg f=N , Mg*cosa=N در نتيجه:
cosa-sina)Mg =T) انگاه: (mg= 2*sina *Mg*(cosa-sinaاگر جرم واحد طول را k درنظر بگيريم و x طول نخ به جرم mو Lطول كل طناب داريم
L/x=1/((cosa-sina)sina)+1
ميتوانيم از اين عبارت مشتق بگيريم و مساوي صفر قرار دهيم
در زاويه 22.5 حد اكثر است
پاسـخ : آيدا جان!
از جوابت تشكر مي‌كنم ولي مي‌خواهم از شما خواهش كنم توضيح راه‌حلت را هم براي دوستانت بنويسي تا آن‌ها راجع به جواب شما قضاوت بهتري داشته باشند.
در مسابقه‌هاي ما هميشه شركت كن!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تایید انصراف
 
 المپياد فيزيك

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
خطایی روی داده است.
خطا: بازديدها فعلا" غیر قابل دسترسی می باشد.