نكته - در مكانيك همواره روش‌هاي مختلفي براي حل مسأله وجود دارد. معمولا حداقل 3 روش براي حل وجود دارد:
|
- نيرو (روش نيوتني) |
|
- بقاي تكانه |
|
- بقاي انرژي. |
اگر مسأله‌اي را نتوان به‌صورت عادي با پارامترهاي داده شده حل كرد، قانون بقا روشي مستقيم براي حل مسأله است. لازم به ذكر است كه قوانين بقا از مهم‌ترين اصول طبيعت يا همان فيزيك هستند!
جسم در حال غلطش داراي دو مؤلفه‌ي انرژي است. مركز جرم و انرژي ناشي از تكانه‌ي زاويه‌اي. براي حل بايد مقدار گشتاور لختي را بدانيم.
كه در آن v سرعت خطيِ مركز و w سرعت زاويه اي حول مركز جرم است. اگر فرض كنيم اجسام در بالاي سطح شيبدار از حالت سكون به حركت در آيند، در معادله اي كه برا ي بقاي انرژي مي نويسيم داريم:
(رابطه‌ي 2)
كه .gif) و .gif) .
با جاي‌گذاري آن‌ها در رابطه‌ي (1) داريم:
حال مسأله را براي جسم در حال لغزش حل مي‌كنيم. در اين حالت، لَختي دوراني (I) را نخواهيم داشت؛ در نتيجه:
همان‌طور كه ديده مي‌شود سرعت كره اي در حال لغزش مي باشد، از كره اي كه در حال غلطش است، كمتر است. بقاي تكانه نيز روشي مشابه دارد. حال اگر بخواهيم اين مسأله را به روش نيوتني يا نيروها حل كنيم داريم
برا ي كره اول- همان‌طور كه از شكل معلوم است، Mg وزن كره ها است كه جهت آن به خاطر نيروي مركزگراي زمين عمود بر سطح افقي است. و N نيروي عمودي است كه از سطح شيبدار به كره ها وارد مي شود وf نيروي اصطكاك ايستايي است كه در امتداد سطح شيبدار و در نقطه تماس اثر مي كند. با استفاده از قانون دوم نيوتن داريم:
نيروي حركت عمود بر سطح .gif)
نيروي حركت در امتداد سطح شيبدار .gif)
حركت دوراني حول مركز جرم از رابطه زير بدست مي‌آيد:
كداميك از نيروهاي وارده علت حركت نيستند؟
بازوي گشتاور نيروي اصطكاك نسبت به مركز جرم برابر است با R در نتيجه:
و نيز داريم:
در نتيجه:
(تصحيح: در فرمول قبل به جاي 3/2 بايد 5/2 باشد)
اگر آن را در معادله (2) قرار دهيم:
يعني شتاب كره غلطان بيش تر از كره در حال لغزش است. با استفاده از معادلات سرعت بر حسب شتاب و تغيير مكان داريم
در نتيجه:
مي‌بينيم كه نتيجه مشابه قبل است.
|
حال با توجه به شمايه ديناميكي مسأله مي توانيد تحليلي از سيستم فيزيكي(درباره حركت هاي انتقالي و دوراني) داشته باشيد؟ (راهنمايي - اينجا با تركيب دو نوع حركت انتقالي و دوراني مواجه هستيم) |
«تركيب حركت هاي انتقالي و دوراني حول محور ثابت از مركز جرم هم ارز است با يك حركت دوراني محض با همان سرعت زاويه اي حول محوري كه از نقطه تماس جسم غلطان مي گذرد.»
قضيه محورهاي موازي:«اگر گشتاور لَختي جسمي را حول محوري كه از مركز جرم مي گذرد بدست آوريم، مي توانيم گشتاور لَختي را حول هر محوري، موازي با محور مركز جرم بدست آوريم:
كه در نتيجه كه گاهي بجاي l از h نيز استفاده مي كنيم. |