مسابقه‌ی تصادفی

 
 
 ماتريس‌ها و احتمال (مسابقه‌ي شماره‌ي 67) ويژه‌ي ايام نوروز
ماتريس‌ها و احتمال (مسابقه‌ي شماره‌ي 67) ويژه‌ي ايام نوروزمسابقه كامپيوتر
اعداد زوج و فرد ... سؤال همراه با جواب

ماتريس‌ها و احتمال






اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    
- «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش اصطلاح‌ها»
    
- «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش واقعيت‌هاي مشخص»
    
- «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
    
- «دانش امور كلي و مسائل انتزاعي» > «دانش اصل‌ها و تعميم‌ها»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «درون‌يابي»
    -
«فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» < «تحليل روابط»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    
- آشنايي با احتمال
    
- آشنايي با اعداد «فرد» و «زوج»
    
- روش حل مسأله در زمينه‌ي «احتمال»
    
- روش حل مسأله در زمينه‌ي اعداد «فرد» و «زوج»
 محتواي آموزشي
    
- احتمال
    
- نظريه‌ي اعداد > اعداد «فرد» و «زوج»




سؤال

اگر  عددي «زوج» باشد، چه تعداد ماتريس  با درايه‌هاي «صفر» يا «يك» مي‌توان در نظر گرفت به‌گونه‌اي كه جمع هر «رديف» و هر «ستون» آن، عددي «فرد» باشد؟

اين سؤال را براي زماني كه ‌عددي «زوج» باشد درنظر بگيريد.



جواب
نشان خواهيم داد جواب اين سؤال  است.

بحث كليدي در اين مسأله آن است كه يك ماتريس با شكل دلخواه مي‌تواند از جاگذاري دلخواهي اعداد «صفر» و «يك» در بخش بالايي زيرماتريس  به‌دست آيد. اولين باري كه اين داده‌ها جاگذاري شدند يك راه براي پر كردن درايه‌ي  و  - كه در آن  است – وجود خواهد داشت. بنابراين شرط «فرد» بودن جمع اعداد براي هر  سطر اول و  ستون اول صادق خواهد بود.

براي هر ، درايه‌ي  برابر با:

- «يك» خواهد بود اگر جمع  اعداد ابتدايي سطر ام عددي «زوج» باشد

- «صفر» خواهد بود اگر جمع  اعداد ابتدايي سطر ام عددي «فرد» باشد.

به‌طور مشابه براي هر ، درايه‌ي  برابر با:

- «يك» خواهد بود اگر جمع  اعداد ابتدايي ستون ام عددي «زوج» باشد

- «صفر» خواهد بود اگر جمع  اعداد ابتدايي ستون ام عددي «فرد» باشد.

يك‌بار كه اين عمل انجام شود تمام درايه‌ها به‌جز يكي و آن هم  پر مي‌شود و شرط جمع اعداد هر ستون و سطر برابر عددي «فرد» براي رديف‌هاي 1 تا  و ستون‌هاي 1 تا  برقرار خواهد بود.

تنها بايد نشان دهيم شرط جمع اعداد هر ستون و سطر برابر عددي «فرد» هم‌چنين براي رديف ام و ستون ام با گذاشتن درايه‌اي مناسب در نقطه‌ي در ماتريس برقرار است.

با توضيحي كه قبلاً ارائه شد مي‌توان نشان داد شرط جمع اعداد هر ستون و سطر برابر عددي «فرد» براي يكي از ستون‌ها يا رديف‌هاي ام با جاگذاري عددي مناسب در درايه‌ي  برقرار خواهد شد.

براي بررسي اين موضوع كه با انتخاب آن عدد در درايه‌ي ، شرط جمع اعداد هر ستون و سطر برابر عددي «فرد» براي ستون و سطر ديگر هم برقرار خواهد بود. فرض كنيد عدد در درايه‌ي  طوري انتخاب مي‌كنيم جمع اعداد در سطر ام عددي «فرد» باشد. در اين صورت دو حالت درنظر مي‌گيريم:

الف - عددي «زوج» است
در اين حالت، جمع تمام درايه‌هاي ماتريس از حاصل‌ضرب  در عددي «فرد» به‌دست خواهد آمد و بديهي است عددي «زوج» باشد. به‌عبارت ديگر چون در مورد ستون‌هاي يك تا ، شرط جمع درايه‌هاي آن ستون برابر عددي «فرد» برقرار است جمع اعداد ستون‌هاي يك تا ، عددي «فرد»‌ خواهد بود. بنابراين از آن‌جايي كه جمع تمام درايه‌هاي ماتريس عددي «زوج» است بنابراين جمع درايه‌هاي ستون  بايد عددي «فرد» باشد.

ب -  عددي «فرد» است
در اين حالت، جمع تمام درايه‌هاي ماتريس از حاصل‌ضرب  در عددي «فرد» به‌دست خواهد آمد و بديهي است عددي «فرد» باشد. به‌عبارت ديگر چون در مورد ستون‌هاي يك تا ، شرط جمع درايه‌هاي آن ستون برابر عددي «فرد» برقرار است جمع اعداد ستون‌هاي يك تا ، عددي «زوج»‌ خواهد بود. بنابراين از آن‌جايي كه جمع تمام درايه‌هاي مارتريس، عددي «زوج» است بنابراين جمع درايه‌هاي ستون  بايد عددي «زوج» باشد.

1387/1/1لينک مستقيم

فرستنده :
m2006123 HyperLink HyperLink 1387/1/9
مـتـن : دو به توان (n-1)*(n-1)
چگونگی یافتن حالات همراه با اثبات:
ماتریس (n-1)*(n-1) را که شامل درایه های (1,1) و (n-1,n-1) است را انتخاب می کنیم این ماتریس را می توان به دو به توان (n-1)*(n-1) طریق پر کرد.
حال کافی است 2n-1 درایه باقی مانده را طوری پر کنیم که سطرها و ستون های آن عدد فردی شود.
برای این کار درایه های هر سطر یا ستون را جمع می کنیم اگر عددی فرد بود درایه باقی مانده از آن سطر یا ستون را صفر قرار می دهیم و اگر عددی زوج بود داریه باقی مانده آن سطر یا ستون را یک قرار می دهیم. با این کار تمام سطرها و ستون های 1 تا n-1 عددی فرد می شود.
حال تنها سطر و ستون n باقی می ماند اگر هر دوی سطر و ستون n مجموعشان عددی فرد شود درایه (n,n) را صفر و اگر هر دوی سطر و ستون n مجموعشان عددی زوج شود درایه (n,n) را یک قرار می دهیم.

حال باید ثابت کنیم که برای مجموع سطر و ستون n بجز حالاتی که در بالا ذکر شد حالت دیگری را نمی توان یافت.
مجموع سطر k ام را باj(k) و مجموع ستون k ام را با i(k) نمایش می دهیم به طوری که (k بزرگتر مساوی یک و کوچکتر مساوی n )
اعداد زوج را با E و اعداد فرد را با O نمایش می دهیم.
i(1)+ i(2)+ i(3)+… + i(n-1)= j(1)+ j(2)+ j(3)+… + j(n-1)
یک سری از i(k) وj(k) ها فرد و بقیه آن ها زوج هستند در نتیجه می توانیم آن ها را این گونه نوشت:
aO+bE=xO+yE (1)
a+b=x+y (2)
برای این که ثابت کنیمi(n) وj(n) هر دو یا فرد است و یا هر دو زوج باید ثابت کنیم که b و y هر دو یا فرد است و یا هر دو زوج زیرا به ازای هر ستونی یا سطری که مجموع آن زوج شود عدد یک را در درایه باقی مانده ی آن سطر یا ستون قرار می دهیم.
برای اثبات از برهان خلف استفاده می کنیم.فرض می کنیم که می توان حالتی را یافت که y و b یکی زوج و یکی فرد است در نتیجه در رابطه a+b=x+y جایگزین می کنیم و O+a=E+x به دست می آید.
در نتیجه حالات زیر تنها برای y و b در رابطه بالا صدق می کنند و دیگر هیچ حالت دیگری در رابطه دوم صدق نمی کند:
y=E,b=O
y=O,b=E
که هر دو حالت را که در رابطه اول جایگزین می کنیم به تناقض برخورد می کنیم پس در نتیجه حالتی را نمی توان یافت کهi(n) وj(n) یکی فرد و یکی زوج باشند در نتیجه لازم نیست حالتی را از دو به توان (n-1)*(n-1) را حذف کنیم.
پاسـخ :دوست خوبم!
جوابت كاملاً صحيحه. دقتت در مورد سطر و ستون (n,n) بسيار ستودنيه.
بارك‌الله! آفرين بر شما!
انشاءالله بيش از پيش موفق و مؤيد باشي!

فرستنده :
ِمهدی ابراهیمی HyperLink HyperLink 1387/1/2
مـتـن : پاسخ : 2
پاسـخ :ايميل فرستنده: arvin.ebrahimi@gmail.com
تاريخ ارسال: 1387/1/2

مهدي جان!
ضمن تشكر از شما
از اين‌كه اسم قشنگت رو براي اولين بار مي‌بينم خيلي خوشحال شدم.
شجاعت شما در پاسخگويي به اين سؤال ستودني است.
راجع به علت پاسخت توضيح بده تا دوستانت از جوابت باخبر بشند.
منتظر جواب‌هاي ديگر شما نيز هستيم.
انشاءالله موفق باشي!


نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 المپیاد کامپیوتر

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  4208
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  4208