مسابقه‌ی تصادفی

 
 
 مسابقه‌هاي مقدماتي جام جهاني در قاره‌ي آسيا (مسابقه‌ي شماره‌ي 68) ويژه‌ي ايام نوروز
مسابقه‌هاي مقدماتي جام جهاني در قاره‌ي آسيا (مسابقه‌ي شماره‌ي 68) ويژه‌ي ايام نوروزمسابقه كامپيوتر
تابع مولد ... سؤال همراه با جواب

مسابقه‌هاي مقدماتي جام جهاني

در قاره‌ي آسيا







اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش

    -  «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش اصطلاح‌ها»
    
- «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «درون‌يابي»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» >
«تحليل عناصر»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي
»
    
- «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر
    
- آشنايي با احتمال
    
- آشنايي با توابع مولد
    
- روش حل مسأله با استفاده از توابع مولد
 محتواي آموزشي
    - احتمال < تابع مولد





علي كريمي


مقدمه
مسابقه‌هاي مقدماتي جام جهاني در قاره‌ي آسيا در حال برگزاري است. شروع مسابقه‌ها با انداختن سكه توسط داور مسابقه و با حضور سرگروه‌ها انجام مي‌شود.

فرض كنيد «كنفدراسيون فوتبال آسيا» مي‌خواهد چگونگي پرتاب سكه توسط «ماتيو كريستوفر بريز» داور استراليايي مسابقه‌ي ايران و كويت را بررسي كند. سكه بنا است در هفتم فروردين 1387 توسط اين داور در ورزشگاه كشور كويت بين «علي كريمي» سرگروه ايران و سرگروه كويت بالا انداخته شود و ممكن است «رو» يا «پشت» آن ظاهر شود.

«كنفدراسيون فوتبال آسيا» مي‌خواهد احتمال ظاهر شدن بار «رو» را پس از انداختن بار سكه در  بازي در نظر گرفته شده توسط داور مذكور بيابد.

اگر از شما براي كمك به «كنفدراسيون آسيا» دعوت كنند شما اين احتمال را چگونه مي‌يابيد؟

براي جواب به اين سؤال دو حالت را درنظر مي‌گيريم:

 حالت اول – در هر بار انداختن سكه، احتمال ظاهر شدن «رو» و «پشت» برابر باشد.
در اين صورت، ظاهر شدن «رو» را با  و ظاهر شدن «پشت»
را با  نشان مي‌دهيم. در اين صورت ممكن است با پرتاب سكه مثلاً: به‌تعداد پنج بار، حالت‌هاي ذيل به‌ترتيب از راست به چپ به‌دست آمده و دنباله‌اي نظير ذيل تشكيل شود:

«پشت‌ رو پشت پشت رو»

 


با فرض انجام شده اين وضعيت را به‌شكل ذيل توصيف مي‌كنيم:





(رابطه‌ي 1)

مي‌توانيم مشاهده كنيم كه تمام نتايج ممكن از بار انداختن سكه با بسط عبارت ذيل بيان شود:






(رابطه‌ي 2)

در اين صورت، ضريب  در  تعداد نتايج ظاهر شدن بار «رو» را نشان مي‌دهد. يعني احتمال ظاهر شدن بار «رو» پس از بار انداختن سكه از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:






(رابطه‌ي 3)

تابع را «تابع مولد» (Generating Factor) مي‌ناميم و آن را براي بررسي اين احتمال تعريف مي‌كنيم. بدين‌معنا كه ضريب  دقيقاً احتمال بار «رو» را بيان مي‌نمايد.



حالت دوم – در هر بار انداختن سكه، احتمال ظاهر شدن «رو» و «پشت» برابر نباشد.

در اين صورت  و  را به‌ترتيب احتمال ظاهر شدن «رو» و «پشت» در هر بار پرتاب درنظر مي‌گيريم. بديهي است كه همواره رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:





(رابطه‌ي 4)

در اين‌صورت يافتن احتمال ظاهر شدن بار «رو» همانند يافتن ضرايب تابع  است كه در آن  دقيقاً احتمال ظاهر شدن بار «رو» است. رابطه‌ي  با  و  به‌صورت ذيل بيان مي‌شود:





(رابطه‌ي 5)

بدين‌ترتيب احتمال ظاهر شدن بار «رو» با انداختن بار سكه در  مسابقه‌ي فوتبال توسط «ماتيو كريستوفر بريز» داور استراليايي مسابقه‌ي ايران – كويت از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:





(رابطه‌ي 6)

واقعاً ببخشيد كه مقدمه كمي طولاني شد! حالا «كنفدراسيون فوتبال آسيا» از شما سؤال ذيل را براي بررسي وضعيت انداختن سكه در مسابقه‌هاي هم‌زمان توسط داوران متفاوت مطرح مي‌كند. اميدواريم با مقدمه‌ي ارائه شده جوابگوي سؤال آنان باشيد.





سؤال

فرض كنيد داور متفاوت  مسابقه از مرحله‌ي مقدماتي جام جهاني در قاره‌ي آسيا را در تاريخ هفتم فروردين 1387 قضاوت خواهند كرد. سكه‌اي كه به اين كار اختصاص داده شده را به‌صورت ذيل نام‌گذاري مي‌كنيم:




سكه‌ها به‌گونه‌اي طراحي شده‌اند كه ظاهر شدن «رو» براي سكه‌ي  (براي هر عدد )، داراي احتمال  در هر پرتاب است.

اگر كلاً  سكه‌ توسط داوران در مسابقه‌هاي هم‌زمان پرتاب شود احتمال اين‌كه مجموع تعداد ظاهر شدن «رو» عددي «فرد» باشد چقدر است؟





جواب

فرض كنيد  و  باشد. تشكيل «تابع مولد» - مثل آن‌چه در مقدمه گفته شد – كار مشكلي نخواهد بود:









(رابطه‌ي 7)

كه در آن  احتمال ظاهر شدن  «رو» خواهد بود. اكنون به‌دنبال يافتن عبارت ذيل در سري هستيم:







براي اين‌منظور نياز به يك تيزهوشي خاصي داريم:








(رابطه‌ي 8)

هم‌چنين چون  عددي «فرد» است رابطه‌ي ذيل صادق است:







(رابطه‌ي 9)

بنابراين از مقايسه‌ي رابطه‌هاي 8 و 9 داريم:






(رابطه‌ي 10)

در اين سؤال داريم:







(رابطه‌ي 11)







(رابطه‌ي 12)

بنابراين احتمال ظاهر شدن عدد «فرد» در مجموع  پرتاب سكه در  مسابقه‌ي هم‌زمان مقدماتي جام جهاني در آسيا از عبارت ذيل به‌دست خواهد آمد:


1387/1/3لينک مستقيم

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 المپیاد کامپیوتر

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  5994
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  5994