مسابقه‌ی تصادفی

 
 
 يك بازي منطقي (مسابقه‌ي شماره‌ي 78)
يك بازي منطقي (مسابقه‌ي شماره‌ي 78)مسابقه كامپيوتر
سعي و خطا و انگاره‌ي «گلدباخ» ... سؤال همراه با جواب

يك بازي منطقي



 

«كريستين گلدباخ»
(Christian Goldbach)

اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.



چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با روش سعي و خطا
    - حل مسأله با استفاده روش سعي و خطا
 محتواي آموزشي
    - بازي منطقي.



سؤال

«جعفر» به «كاظم» و «رضا» دو عدد صحيح متفاوت ارائه مي‌كند. «كاظم» و «رضا» از اعداي كه به ديگري گفته مي‌شود مطلع نيستند. «جعفر» عبارت‌هاي ذيل را در جلوي هر دو («كاظم» و «رضا»‌) و به‌صورتي بلند مي‌گويد:

- عدد داده شده به «رضا» حاصل‌ضرب دو عدد  و  است .

- عدد داده شده به «كاظم» جمع همان دو عدد و  است .


«جعفر» به «كاظم» و «رضا» از مقدار دو عدد  و  حرفي نمي‌زند.



فرض مي‌كنيم داشته باشيم:





(رابطه‌ي 1)

پس از صحبت‌هاي «جعفر»، «كاظم» و «رضا» با هم صادقانه حرف زده و صحبت‌هاي ذيل را مطرح مي‌كنند:

گزاره‌ي اول - «كاظم»:
«من نمي‌توانم بگويم اعداد و چيستند».

گزاره‌ي دوم - «رضا»:
«قبلاً مي‌دانستم كه شما نمي‌توانيد بگوييد».

گزاره‌ي سوم - «كاظم»:
«در اين صورت، الآن مي‌دانم اعداد  و  چيستند».

گزاره‌ي چهارم - «رضا»:
«اكنون من هم مي‌دانم اعداد  و  چيستند».


فرض كنيد «جعفر» به شما (نه «كاظم» و نه «رضا»)‌ گفته است كه هيچ‌كدام از اعداد  و  بزرگ‌تر از 20 نيستند.

 و  را يافته و ثابت كنيد استدلال شما نتيجه‌ي گفتگوي رد و بدل‌شده بين «كاظم»، «رضا» و «جعفر» است.




راهنمايي

آن‌چه مسأله را خدعه‌اميز كرده آن است كه تنها يك مسأله نيست: مسأله‌اي داخل مسأله‌اي ديگر است. لازم است خودتان را به‌جاي «كاظم» و «جعفر» قرار داده تا نه‌تنها همان استدلال آن‌ها را اعمال كنيد بلكه شرايطي را كه منجر به اين استدلال مي‌شود استنباط نماييد. چند مطالعه‌ي موردي دقيق منجر به حصول جواب مي‌شود.




جواب

راه‌حل 1

با اعمال روش «سعي و خطا» (Trial and Error) مقادير  و  به‌دست مي‌آيد. اجازه دهيد نشان دهيم گفتگوي مذكور، انجام و به «كاظم» عدد 52 و «رضا» عدد 17 ارائه شده است.

«كاظم» ‌مي‌گويد: «من نمي‌توانم بگويم اعداد  و  چيست‌اند»؛ از آن‌جايي كه گزاره‌اي صحيح است متوجه مي‌شويم 52 از دو زوج اعداد ‌ يا  به‌دست مي‌آيد.

«رضا» چنين جواب مي‌دهد: «قبلاً مي‌دانستم كه شما نمي‌توانيد بگوييد». از آن‌جايي كه اين گزاره هم صحيح است زوج اعداد  كه جمع‌شان 17 مي‌شود عبارت‌اند از:




و مي‌دانيم حداقل دو جواب ممكن است كه منجر به حاصل‌ضرب  و  يعني  شود.

بعد از آن «كاظم» مي‌گويد: «در اين صورت، الآن مي‌دانم اعداد   و  چيست‌اند». اين گزاره صحيح است زيرا اگر  برابر  باشند در اين صورت به «رضا» عدد 28 ارائه شده است؛ اين بدين‌معنا است كه وي گزاره‌ي سابق خود را نمي‌توانسته بازگو كند. زيرا  برابر بوده كه در اين حالت «كاظم» قادر خواهد بود قبل از بيان هر گزاره‌اي مقادير  و  را بيابد.

چون «كاظم» مي‌داند حاصل‌ضرب  و  عدد 52 است و  برابر  نيست مي‌داند  برابر  بوده و تنها گزينه‌ي ديگر محسوب مي‌شود.

«رضا» حالا مي‌گويد: «اكنون من هم مي‌دانم اعداد  و  چيست‌اند» اين گزاره صادقانه بيان شده است زيرا تنها زوج از ميان كه به‌واسطه‌‌ي آن «كاظم» مي‌توانسته گزاره‌ي اخير خود را مطرح كند  است.

اجازه دهيد نشان دهيم چرا گزينه‌هاي  جواب مسأله محسوب نمي‌شوند. سپس «كاظم» عدد 30 را داشته و قادر نبوده است گزاره‌ي اخير خود را ابراز كند زيرا هر دو زوج  و  منجر به حصول مجموع‌هايي مي‌شود كه به‌واسطه‌ي وقوع آن‌ها «رضا» ‌قادر به ابراز گزاره‌ي خود نبوده است.

به‌علاوه براي زوج  «كاظم» قادر نخواهد بود گزاره‌ي خود را ابراز كند زيرا هر دو زوج  و  منجر به جمع‌هايي خواهد شد كه براي آن، «رضا» قادر خواهد بود گزاره‌ي اخير خود را ابراز كند.

با همان منطق درباره‌‌ي زوج‌هاي ذيل مي‌توان ابراز عقيده كرد:

  و

  و

  و

بنابراين زوج مورد نظر مسأله – كه از گفتگوها به‌دست مي‌آيد – عبارت است از:




(رابطه‌ي 2)





راه‌حل 2
ياداوري
از اين به‌بعد در پاسخ به اين سؤال، هر بار از اصطلاح «تجزيه به عوامل متمايز» (Factorization) استفاده مي‌شود به‌معناي تجزيه به دو عامل هر دو بزرگ‌تر از 1 است.

توجه كنيد كه «كاظم» تنها و تنها زماني مي‌تواند بگويد كه مقدار اعداد  و  چيست كه تنها يك روش براي تجزيه‌ي  به عوامل صحيح متمايز و هر دو بزرگ‌تر از 1 وجود داشته باشد. در اين حالت  و  هر دو عوامل  محسوب مي‌شوند.

اين امر تنها زماني محقق مي‌شود كه رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:




(رابطه‌ي 3)

كه در آن  و  «اعداد اول» (Prime Numbers) محسوب شده و در اين حالت خواهيم داشت:

   و  برابر  و  هستند.

 يا زماني كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 4)

كه در آن  عددي اول بوده در اين حالت رابطه‌هاي ذيل برقرار است:

 





(رابطه‌ي 5)





(رابطه‌ي 6)

براي «رضا»‌ با توجه به گزاره‌اي كه در آن بيان مي‌كند قبلاً مي‌دانسته كه «كاظم» نمي‌توانسته بگويد اعداد  و  چيست‌اند. نوشتن  به‌عنوان مجموع دو عدد اول متمايز يا جمع يك عدد اول و مربعش غيرممكن است.

از آن‌جايي كه  است مقادير ممكن براي  مي‌توانند اعداد ذيل باشند:






ياداوري 1
توجه داشته باشيد نياز داريم اعداد اول و مربع‌هاي اعداد اول را بزرگ‌تر از 20 در نظر بگيريم. «رضا» مي‌داند  است.

براي اين‌كه گزاره‌ي سوم صادق باشد بايد دقيقاً با يك تجزيه‌ي  به عواملش برابر باشد به‌گونه‌اي كه جمع عوامل آن نمي‌تواند به‌صورت جمع اعداد اول متمايز يا جمع يك عدد اول و مربعش نوشته شود.

اگر  باشد در اين صورت رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:





(رابطه‌ي 7)

بنابراين «كاظم»‌ مي‌داند كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌‌ي 8)

بنابراين رابطه‌ي ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌ي 9)

اين بدين‌معناست كه «كاظم» مي‌داند  يا «فرد» است يا «مربع يك عدد اول».




ياداوري 2
انگاره‌ي «گلدباخ» (Goldbach's Conjecture) اشعار مي‌دارد كه هر عدد صحيح «زوج» كه بزرگ‌تر يا مساوي 4 باشد جمع دو عدد اول است كه لزوماً متمايز نباشند. اگرچه براي همه‌ي مقاديري كه بر آن متمركز مي‌شويم ثابت شده است.

بنابراين تنها نياز داريم تجزيه‌ي عدد  را به عوامل درنظر بگيريم به‌گونه‌اي كه جمع عوامل بر 4 بخش‌پذير نباشد.





ياداوري 3
نمي‌توانيم فرض كنيم  به‌خاطر اين‌كه بدين‌معناست كه  برابر 3 يا 4 است.





ياداوري 4
توجه كنيد اگر  باشد كه در آن  عددي اول و «فرد» است. پس تنها مقادير ممكن و  برابر 4 و  هستند.

از آن‌جايي كه گزاره‌ي چهارم صحيح است يك راه براي نوشتن  به‌عنوان مجموع دو عدد بزرگ‌تر از يك است كه حاصل‌ضرب آن‌ها اين شرايط را فراهم مي‌كند.

 گزاره‌هاي ذيل صادق است:

 اگر  باشد رابطه‌ي ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌‌ي 10)

يا اين‌كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 11)

 اگر باشد رابطه‌ي ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌‌ي 12)

يا اين‌كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 13)

 اگر  باشد رابطه‌ي ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌‌ي 14)

يا اين‌كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 15)

 اگر  باشد رابطه‌ي ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌‌ي 16)

يا اين‌كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 17)

 اگر  باشد رابطه‌ي ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌‌ي 18)

يا اين‌كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 19)

 اگر  باشد رابطه‌هاي ذيل صادق خواهد بود:





(رابطه‌‌ي 20)

يا اين‌كه رابطه‌ي ذيل برقرار است:





(رابطه‌ي 21)

نشان خواهيم داد كه هريك از مقادير ممكن از  شرايطي را براي صحت گزاره‌ي سوم ايفا مي‌كند. همه‌ي اعداد 28، 76، 92 و 124 به‌شكل  است به‌گونه‌اي كه همه در اين رابطه صدق مي‌كنند.

  اگر رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 22)

پس تنها تجزيه به عوامل به‌غير از  برابر  است و منجر به رابطه‌ي ذيل مي‌شود:





(رابطه‌ي 23)

 اگر رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 24)

پس تنها تجزيه به عوامل به‌غير از  برابر  است و منجر به رابطه‌ي ذيل مي‌شود:





(رابطه‌ي 25)

 اگر رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 26)

پس تنها تجزيه به عوامل به‌غير از  برابر زوج‌هاي ذيل است:


  و منجر به رابطه‌ي ذيل مي‌شود:





(رابطه‌ي 27)

  و منجر به رابطه‌ي ذيل مي‌شود:





(رابطه‌ي 28)

 

 اگر رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 29)

در اين صورت تنها تجزيه به عوامل به‌غير از  را خواهيم داشت به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:

 





(رابطه‌ي 30)

عوامل ذيل را نتيجه مي‌دهد:

  كه منجر به رابطه‌ي ذيل خواهد شد:





(رابطه‌ي 31)

  كه رابطه‌ي ذيل را نتيجه خواهد داد:





(رابطه‌ي 32)

 اگر رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 33)

پس تنها تجزيه به عوامل به‌غير از  خواهيم داشت به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:





(رابطه‌ي 34)

اين عوامل عبارت‌اند از:

  كه منجر به رابطه‌ي ذيل خواهد شد:





(رابطه‌ي 35)

  كه رابطه‌ي ذيل را نتيجه خواهد داد:





(رابطه‌ي 36)

 اگر رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 37)

پس تنها تجزيه به عوامل به‌غير از خواهيم داشت به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:





(رابطه‌ي 38)

اين عوامل عبارت‌اند از:

  كه منجر به رابطه‌ي ذيل خواهد شد:




(رابطه‌ي 38)

  كه رابطه‌ي ذيل را نتيجه خواهد داد:





(رابطه‌ي 39)

 اگر رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 40)

پس تنها تجزيه به عوامل به‌غير از خواهيم داشت به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:





(رابطه‌ي 41)

اين عوامل عبارت‌اند از:

 كه منجر به رابطه‌ي ذيل خواهد شد:





(رابطه‌ي 42)

  كه رابطه‌ي ذيل را نتيجه خواهد داد:





(رابطه‌ي 43)

 اگر رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 44)

پس تنها تجزيه به عوامل به‌غير از  و  را خواهيم داشت به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 45)

يا تجزيه به عوامل به‌غير از  خواهيم داشت به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:





(رابطه‌ي 46)

 بنابراين مقادير 11، 23، 27، 29، 35 و 37 براي  گزاره‌ي چهارم را به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل را داشته باشيم:





(رابطه‌ي 47)

تأمين نخواهند كرد.

لذا زوج‌هاي ممكن  شامل مواردي نظير ذيل هستند:





(رابطه‌ي 48)

اما مي‌تواند به عوامل  تجزيه شود و رابطه‌ي ذيل هم صادق باشد:






(رابطه‌ي 49)





(رابطه‌ي 50)

اما مي‌تواند به عوامل  تجزيه شود و رابطه‌ي ذيل هم صادق باشد:

 





(رابطه‌ي 51)





(رابطه‌ي 52)

اما مي‌توان به‌شكل  نوشت به‌گونه‌اي گزاره‌ي سوم صادق باشد.





(رابطه‌ي 52)

 

اما مي‌تواند به عوامل  تجزيه شود و رابطه‌ي ذيل هم صادق باشد:

 





(رابطه‌ي 54)





(رابطه‌ي 55)

اما مي‌تواند به عوامل  تجزيه شود و رابطه‌ي ذيل هم صادق باشد:

 





(رابطه‌ي 56)





(رابطه‌ي 57)

اما مي‌تواند به عوامل  تجزيه شود و رابطه‌ي ذيل هم صادق باشد:

 





(رابطه‌ي 58)





(رابطه‌ي 59)

اما مي‌تواند به عوامل  تجزيه شود و رابطه‌ي ذيل هم صادق باشد:

 





(رابطه‌ي 60)

بنابراين تنها مقدار  كه با گزاره‌ي سوم تطبيق داشته باشد 52 است به‌گونه‌اي كه رابطه‌هاي ذيل برقرار باشد:





(رابطه‌ي 61)

به‌گونه‌اي گزاره‌ي چهارم در مورد آن صدق كند.

بنابراين تنها مقدار ممكن  برابر  است. 

1387/3/5لينک مستقيم

فرستنده :
آرش HyperLink HyperLink 1387/3/14
مـتـن : ممنون اين سايت خيلي خيلي عالي‌ست. فقط خوب مي شد بعد از برگزاري‌ي ِ مسابقه‌ها چه كامپي‌يوتر و چه ري‌ياضي سر فصل ِ راه ِ حل و جواب‌ش را در سايت بگذاريد. با تشكر.
پاسـخ :ايميل فرستنده: arashxyz0@yahoo.com
تاريخ ارسال: 1387/3/12


آرش جان!
از اظهار لطفت تشكر مي‌كنيم.
آن‌چه باعث خوشحالي ما شده ارتباطت با سايت خودت هست.
اميدواريم به‌صورت فعال در مسابقه‌هاي المپياد كامپيوتر شركت كني.
در مورد جواب مسابقه‌ها هم اگر شما و دوستانت در جواب به سؤال‌ها مشاركت بيش‌تري نشون بدين و تعداد جواب‌ها افزايش پيدا بكنه ما هم انشاءالله در اولين فرصت اين‌كار را انجام خواهيم داد.
انشاءالله موفق باشي!



نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 المپیاد کامپیوتر

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  8198
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  8198