اجازه بدهيد .png) «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌ها براي اين فرايند با .png) طناب در شروع باشد. از لم ذيل براي حل مسأله استفاده مي‌كنيم:
(رابطهي 1)
براي اثبات رابطهي 1، فرايند را با طناب شروع مي‌كنيم. بعد از انتخاب يك سر آزاد، .png) سر آزاد باقي مي‌ماند كه احتمال .png) براي انتهاي ديگر همان طناب در انتخاب دوم وجود خواهد داشت. اگر چنين امري واقع شود يك حلقه قبلاً تشكيل شده و به .png) طناب نيز دست نزده‌ايم. بنابراين «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌هاي تشكيل شده از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 2) بدين‌ترتيب احتمالي برابر .png) براي انتخاب يك انتهاي يك طناب متفاوت با رها كردن طناب (يكي بزرگ‌تر و .png) طناب كوچك‌تر) وجود خواهد داشت. بنابراين مقدار «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌ها .png) خواهد بود. با تركيب دو احتمال رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 3)
واضح است كه رابطهي ذيل برقرار است:
(رابطهي 4)
(رابطهي 5)
بنابراين اگر «صادق» داراي شش طناب باشد كه با انتخاب تصادفي دو سر آزاد در يك زمان به يكديگر گره بزند «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌هايي كه در پايان ايجاد خواهد كرد برابر .png) خواهد بود.
ابتدا در نظر بگيريد مي‌خواهيم تعداد راه‌هاي متفاوت براي گره زدن طناب به يكديگر را محاسبه مي‌كنيم:
ترتيب گره‌ها اهميتي ندارد اما به هر حال بايد حاصل‌ضرب اين ضرايب چندجمله‌اي را بر تقسيم كنيم. بنابراين تعداد راه‌ها از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 6)
اكنون تعداد راه‌هاي گره زدن طناب به يكديگر براي ايجاد حلقه را در نظر مي‌گيريم. طناب‌ها مي‌توانند پي در پي به يكديگر با ترتيبي دلخواه گره زده شوند به‌گونه‌اي كه .png) راه براي ترتيب انجام آن وجود داشته باشد. اولين انتهاي اولين طناب مي‌تواند به هر انتهاي دومين طناب گره زده شود و سر باقي‌مانده‌ي دومين طناب به انتهاي سومين طناب و به‌همين ترتيب ادامه مي‌دهيم. .png) راه براي انجام اين امر وجود دارد بنابراين كل تعداد راه‌ها براي گره زدن طناب به يكديگر در يك «حلقه‌ي تك» از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 7) نهايتاً مي‌توانيم تعداد كل حلقه‌ها بين همه‌ي گره‌هاي ممكن را بشماريم: با توسعه‌ي اين فرايند، مي‌توان هر حلقه به هر ميزان بزرگي را شمارش كرد. بدين‌ترتيب تعداد كل حلقه‌ها از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 8) از آن‌جايي كه رابطهي ذيل در مورد تعداد گره‌ها صادق است:
(رابطهي 9) مقدار «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌ها از رابطهي ذيل محاسبه خواهد شد:
(رابطهي 10) |