مسابقه‌ی تصادفی

 
 
 چهارضلعي (مسابقه‌ي شماره‌ي 81)
چهارضلعي (مسابقه‌ي شماره‌ي 81)مسابقه كامپيوتر
تركيبيات ... سؤال همراه با جواب

چهارضلعي







اشاره

آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.




چكيده

اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» < «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» < «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با احتمال
    - روش حل مسأله با استفاده از احتمال
 محتواي آموزشي
    - تركيبيات.





 

شكل 1.

سؤال

تعداد همه‌ي چهارضلعي‌ها در يك صفحه را بشماريد كه مي‌توان با چهار نقطه از 9 نقطه‌ي ذيل به‌عنوان «رأس» آن‌ها تشكيل دهيم؟

در اين شمارش:

- تعداد چهارضلعي‌هاي «مقعر» و «محدب» را محسوب كنيد.

 

- اشكالي را كه دو ضلع آن‌ها يكديگر را قطع مي‌كنند به‌حساب نياوريد.

 

- اشكالي را كه زاويه‌ي مربوط به يك رأس آن‌ها 180 درجه مي‌شود نشماريد.

دقت بفرماييد هيچ چهارضلعي از شمارش نيافتد يا اين‌كه يك چهارضلعي بيش از دو بار به‌حساب نيايد.



راهنمايي

اگرچه يك بحث تركيبياتي بهترين محمل براي آغاز حل اين مسأله است بسياري از دانش‌اموزان از راه‌هاي جالب بسياري استفاده مي‌كنند تا نشان دهند همه‌ي حالت‌هاي ممكن را پوشش داده‌اند. ولي بايد توجه داشت كه بسياري از چنين روش‌هايي با توجه به سختي اين موضوع كه همه‌ي موضوع‌ها پوشش داده شده به‌نتيجه منتهي نمي‌شود. هم چنين بيش‌تر اين روش‌ها در حد و اندازه‌هاي حل مسائل با چارچوب‌هاي بزرگ‌تر نيست.




جواب
راه‌حل اول

 روش مختلف براي انتخاب چهار نقطه به‌عنوان رؤوس يك چهارضلعي وجود دارد. اما به هر حال، از اين تعداد بايد تعداد راه‌هايي را كم كنيم كه در آن سه نقطه بر روي يك خط راست قرار مي‌گيرند.

هشت راه براي انتخاب سه نقطه وجود دارد به‌گونه‌اي كه همه‌ي آن‌ها در راستاي يك خط قرار گرفته است؛ براي همه‌ي آن‌ها شش راه براي انتخاب چهارمين نقطه وجود دارد به‌طوري كه تعداد راه‌ها براي انتخاب چهار نقطه به‌نحوي باشد كه بتوانند يك چهارضلعي تشكيل داده دقيقاً داراي چهار ضلع مجزا باشد از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:






(رابطه‌ي 1)

بعضي از آن مجموعه‌هاي چهار نقطه‌اي دقيقاً يك چهارضلعي تشكيل مي‌دهند نظير موارد ذيل:



در حالي كه ديگران نظير موارد ذيل يك سه‌ضلعي ايجاد مي‌كند:



در غير اين‌صورت چهار نقطه يك چهارضلعي تشكيل مي‌دهند.

دقيقاً هشت مجموعه از نقاط وجود دارد به‌گونه‌اي كه يكي از مجموعه‌ها داخل مثلث با سه مجموعه‌ي ديگر تشكيل مي‌شود:















ديگر 70 مجموعه‌ي ممكن از نقاط يك چهارضلعي تشكيل خواهند داد. بنابراين جواب اين سؤال از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:





راه‌حل دوم
94 چهارضلعي اين‌چنيني وجود دارد. چهارضلعي‌ها را با تقسيم‌بندي‌اي نظير ذيل شمارش خواهيم كرد:

الف – مستطيل‌ها
مجموعاً 10 مستطيل وجود دارد:

- يك مستطيل با ابعاد  و يك مستطيل با ابعاد
- چهار مستطيل با ابعاد
- چهار مستطيل با ابعاد



 

شكل 2.




ب – متوازي‌الاضلاع (شامل مستطيل نمي‌شود)
دو نوع «متوازي‌الاضلاع» با اضلاع غيرعمود بر هم وجود خواهد داشت (شكل 3).

 

شكل 3.

 

چهار متوازي‌الاضلاع از نوع اول در شكل 3 (سمت چپ) وجود دارد؛ بنابراين زوج اضلاع افقي حاضر ممكن است هر يك از زوج اضلاع مقابل در سمت چپ و راست شكل 3 باشد.

هشت متوازي‌الاضلاع از نوع دوم در شكل 3 (سمت راست) وجود دارد؛ بنابراين براي هريك از چهار مستطيل  دو متوازي‌الاضلاعي اين‌گونه وجود خواهد داشت.

در تمام حالت‌ها دوازده متوازي‌الاضلاع غيرمستطيل موجود خواهد بود.

 

شكل 4.

16 ذوزنقه از نوع اول در شكل 4 (سمت چپ) وجود دارد به‌خاطر اين‌كه هريك از چهار مستطيل  شامل چهار نوع از چنين ذوزنقه‌هايي مي‌شود زيرا هريك با برش يك گوشه تشكيل شده و چهار گوشه نيز وجود دارد.

8 ذوزنقه از نوع دوم وجود دارد به‌خاطر اين‌كه هريك از چهار گوشه‌ي چنين آرايه‌اي از نقاط مي‌تواند ضلعي باشد كه در حال حاضر در پايين قرار دارد و براي هريك از چهار موقعيت، دو قاعده‌ي بزرگ‌تر مي‌تواند از دو قاعده‌ي ديگر به‌دست آيد.

چهار ذوزنقه از نوع سوم در شكل 4 وجود دارد به‌خاطر اين‌كه دو ضلع غيرموازي آن (زماني كه امتداد مي‌يابند) مي‌تواند در هريك از چهار گوشه‌ي آرايه‌ي نقاط مذكور تلاقي پيدا كنند.

مجموعاً 28 ذوزنقه وجود دارد.

 

شكل 5.




ج – كايت
تنها يك شكل «كايت» به‌وجود خواهد آمد. چهار «كايت» از اين نوع وجود خواهد داشت به‌خاطر اين‌كه رأس با زاويه‌ي قايمه مي‌تواند از هريك از چهار گوشه‌ي آرايه‌ي نقاط مذكور انتخاب شود.

 

شكل 6.




د – اشكال محدب ديگر
دو نوع ديگر از اشكال محدب بدون اضلاع موازي وجود دارد (شكل 6). براي نوع اول از شكل 6 هريك از چهار ضلع آرايه‌ي نقاط مي‌تواند به‌عنوان ضلع با طول 2 و از آن‌جا هريك اضلاع مجاور با ضلع برابر 1 مي‌تواند انتخاب شود. بنابراين 8 نوع از اين اشكال وجود خواهد داشت.

براي نوع دوم از شكل 6 هريك از 8 پاره‌خط كناري آرايه‌ي نقاط با طول 1 مي‌تواند انتخاب شود؛ از آن‌جا بقيه‌ي شكل تعيين مي‌گردد. بنابراين 8 عدد از اين اشكال وجود خواهد داشت. در تمام حالت‌ها، 16 عدد از چنين اشكالي وجود خواهد داشت.

 

شكل 7.




هـ – اشكال مقعر
چهار نوع از اشكال «مقعر» وجود دارد. چهار نوع اول از شكل 7 (سمت چپ) وجود دارد بنابراين هريك از گوشه‌هاي چنين آرايه‌اي از نقاط در حال حاضر مي‌تواند به‌عنوان رأس گوشه‌ي پاييني و سمت چپ انتخاب شود.

هشت نوع از شكل دوم وجود دارد بنابراين علاوه بر چهار حالت براي رأس واقع در گوشه هم‌چنين دو حالت براي آن ضلعي وجود خواهد داشت كه دهانه‌ي زاويه‌ي منفرجه به‌سمت آن است.

هشت شكل از نوع سوم از شكل 7 وجود خواهد داشت؛ بنابراين چهار موقعيت براي ضلع با طول 2 وجود دارد كه مي‌تواند در هريك از چهار ضلع آرايه‌ي نقاط قرار گيرد.

هم‌چنين دو حالت براي اين‌كه زاويه‌ي منفرجه به‌سمت آن باز شود وجود دارد.

چهار حالت از شكل نوع اخير (نوع سوم از شكل 7) وجود دارد بنابراين دهانه‌ي زاويه‌ي منفرجه مي‌تواند به‌سمت هريك از چهار كناره‌ي آرايه‌ي نقاط باز شود. در تمام حالت‌ها 24 شكل مقعر وجود خواهد داشت (شكل 8).

 

شكل 8.

در شكل 8 تمام حالت‌هاي ممكن از اشكال مقعر را مشاهده خواهيد كرد. در تمام حالت‌ها تعداد چهارضلعي‌ها از رابطه‌ي ذيل محاسبه خواهد شد:







(رابطه‌ي 2)

براي بررسي اين امر كه تمام اشكال دقيقاً يك‌بار شمارش مي‌شوند موارد ذيل را در نظر مي‌گيريم.  روش براي انتخاب چهار نقطه از ميان 9 نقطه وجود دارد. از همه‌ي تركيب‌ها از چهار نقطه تنها مواردي كه تشكيل چهارضلعي نمي‌دهند عبارت‌اند از حالت‌هايي كه سه‌نقطه در راستاي يك خط باشند. سه نقطه در صورتي مي‌توانند در راستاي يك خط باشند كه بر روي هشت خط گذرنده از سه نقطه قرار داشته باشند (شكل 9).

 

شكل 9.


چهارمين نقطه مي‌تواند از هريك از 6 نقطه‌ي ديگري انتخاب شود كه بر روي آن خط قرار ندارند. بنابراين 48 تركيب از 4 نقطه وجود دارد كه نمي‌تواند تشكيل چهارضلعي دهند لذا تعداد تركيب‌ها از 4 نقطه كه تشكيل چهارضلعي مي‌دهند از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:







(رابطه‌ي 3)

با فرض چهار نقطه غيرواقع بر يك خط دقيقاً يك شكل مقعر مي‌تواند رسم شود. بنابراين 70 تركيب از چهار نقطه براي 70 چهارضلعي مقعر خواهيم داشت. اما به هر حال، اين امر براي اشكال مقعر صادق نيست؛ بيش از يك شكل مقعر در ارتباط با چهار نقطه قابل ترسيم است.

هريك از 8 تركيب باقي‌مانده مي‌تواند در ارتباط با سه چهارضلعي متفاوت تشكيل شود (شكل 10). بنابراين 24 چهارضلعي مقعر وجود خواهد داشت. در تمام حالت‌ها تعداد چهارضلعي‌هايي كه با شمارش قبلي‌مان تطبيق دارد از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:






(رابطه‌ي 4)

 

شكل 10.

1387/3/27لينک مستقيم

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/4/25
مـتـن : جواب من درست بود؟
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/4/4

دوست خوبم!
با عرض معذرت از اون‌جايي كه اسم‌تون رو نمي‌دونم نمي‌تونم درباره‌ي سؤالي كه احتمالاً مطرح كردي نظر بدم.
اگر امكان داره دومرتبه جواب رو برامون بفرستين.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/4/25
مـتـن : جواب من درست بود؟
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/4/4

دوست خوبم!
از اون جايي كه اسمت رو ننوشتي من نمي‌دونم منظورت كدوم جوابه.
اگر امكان داره نام خودت رو اعلام كن.
منتظر حضور فعالت هستيم.
انشاءالله موفق باشي.

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/4/25
مـتـن : 94
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/4/5

دوست خوبم!
از اين‌كه با شجاعت به اين سؤال پاسخ دادي ازت تشكر مي‌كنيم.
ولي دوست خوبم همه‌ي ما و دوستات منتظر علت جوابت هم هستيم.
هدف از طرح سؤال‌هاي اين‌جوري اينه كه قدرت تفكر و استدلال‌تون قوي باشه و لازمه‌ي اون اينه كه با شجاعت و عزت نفس به سؤال پاسخ بدين و درست بودن جواب هم اهميتي نداره.
اگرچه جوابي كه اعلام كردي كاملاً صحيح هم هست.
منتظر جوابت هستيم.
انشاءالله موفق باشي.

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/4/13
مـتـن : 94
پاسـخ :دوست خوبم!
سلام
از اين‌كه شجاعانه به سؤال پاسخ دادي ازت تشكر مي‌كنم.
ما و دوستات تو سايت رشد خيلي دوست داريم از استدلالت هم باخبر باشيم.
بنابراين اگرچه جواب سؤال رو هم داديم ولي دوست داريم از نحوه‌ي استدلال شما باخبر باشيم. اين‌جوري با روش‌هاي مختلفي آشنا مي‌شيم و در مسائل بعدي از اون استفاده خواهيم كرد.
منتظر جواب تكميليت هستيم.
ضمناً از تأخيري كه در پاسخگويي به اين سؤال پيش اومد ازت عذرخواهي مي‌كنم.
انشاءالله موفق باشي!

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/4/13
مـتـن : تعداد چهارضلعي هاي مقعر برابر است با (4+4)3 و تعداد چهارضلعي هاي محدب برابر است با 8 - 6*8 - (9,4)c . پس پاسخ مساله برابر است با مجموع دو عدد بالا يعني: 94
پاسـخ :تاريخ ارسال: 1387/4/3

دوست خوبم!
سلام
از اين‌كه چنين با دقت و زيبا و با روابط رياضي به سؤال پاسخ گفتي ازت تشكر مي‌كنم. جوابت كاملاً صحيحه.
بارك‌الله! آفرين! مرحبا! درود بر شما!
ضمناً از اين‌كه با تأخير به جوابت پاسخ گفتم ازت عذرخواهي مي‌كنم.
منتظر شركت فعالت در ساير مسابقه‌هاي بخش كامپيوتر هستم.
انشاءالله موفق باشي!

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 المپیاد کامپیوتر

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  2306
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  2306