مسابقه‌ی تصادفی

 
 
 مثلث‌هاي رنگي! (مسابقه‌ي شماره‌ي 28)
مثلث‌هاي رنگي! (مسابقه‌ي شماره‌ي 28)مسابقه كامپيوتر
ثابت كنيد كه اگر طرز رنگ كردن اين 15 پاره خط هر چه باشد، همواره مي‌توان يك‌مثلث رنگي پيدا كرد!

مثلث‌هاي رنگي




سؤال

شش نقطه واقع در يك صفحه را در نظر مي‌گيريم كه هيچ سه نقطه‌اي از آن‌ها روي يك خط قرار ندارند.   يعني 15 پاره خط وجود دارند كه اين نقطه‌ها را به هم وصل مي‌كنند.

فرض مي‌كنيم كه اين 15 پاره‌خط به‌طريق دلخواهي با استفاده از دو رنگ مثلاً: قرمز و سفيد رنگ‌اميزي شده‌اند. ممكن است تمام پاره خط‌ها، قرمز يا تمام پاره خط‌‌‌ها، سفيد يا بعضي قرمز و بعضي سفيد باشند.

هر مثلثي كه از وصل سه نقطه حاصل مي‌شود را «رنگي» مي‌گويند اگر سه ضلع آن داراي «يك رنگ» باشند.

حال ثابت كنيد كه اگر طرز رنگ كردن اين 15 پاره خط هر چه باشد، همواره مي‌توان يك‌مثلث رنگي پيدا كرد!

 

 

1386/2/2لينک مستقيم

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1386/3/15
مـتـن : وزن هر 23 نفر با هم بربر است !

فرستنده :
نادیا HyperLink HyperLink 1386/3/15
مـتـن : ای بابا !
نذارین که من بگم این سوال اصل لانه کبوتریه کتاب ریاضیات انتخاب !!
می خواین جوابش رو ببینین برین و کتابش رو بخرین !
ضمنا باید به مولیم بگم که به نظرم جوابش غلطه !
هه هه هه !

فرستنده :
نادیا HyperLink HyperLink 1386/3/13
مـتـن : ای بابا !
نذارین که من بگم این سوال اصل لانه کبوتریه کتاب ریاضیات انتخاب !!
می خواین جوابش رو ببینین برین و کتابش رو بخرین !
ضمنا باید به مولیم بگم که به نظرم جوابش غلطه !
هه هه هه !

فرستنده :
مولی HyperLink HyperLink 1386/2/26
مـتـن : برای این مساله برهانی قشنگ می آوریم. ثابت می کنیم که در حقیقت 2 مثلث تک رنگ وجود دارد. فرض کنید v1,v2,...,v6 راسهای K6 باشند(چون تمام یال ها رسم شده پس گراف کامل است) . اگر 2 تا از یالها مانند vivj و vivk یکسان باشند، زاویه vjvivk را تکرنگ می نامیم. فرض کنید ri و wi به ترتیب تعداد یال های قرمز و سفید باشند که از vi خارج می شوند. در این صورت، به ازای هر i ی ، ri+wi=5 و تعداد زاویه های تکرنگ برابر است با مجموع (ترکیب 2 از ri + ترکیب 2 از wi) اما این مجموع بزرگتر مساوی است با مجموع ( ترکیب 2 از 2 + ترکیب 2 از 3)=24 . از طرف دیگر، در هر مثلث تک رنگ، 3 زاویه تک رنگ و در هر مثلث دیگر 1 زاویه تکرنگ وجود دارد. فرض کنید تعداد مثلث های تک رنگ برابر با m باشد. چون در کل 20 مثلث داریم، تعداد زاویه های تک رنگ برابر است با 3m+(20-m)=20+2m بنابراین 20 + 2m بزرگتر مساوی با 24 است و در نتیجه m بزرگتر مساوی 2 است و این همان چیزی بود که می خواستیم.

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 المپیاد کامپیوتر

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  2043
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  2043