مسابقه‌ی تصادفی

 
 
 دانش‌اموز بي‌حوصله و بازي با كمدها! (مسابقه‌ي شماره‌‌ي 34)
دانش‌اموز بي‌حوصله و بازي با كمدها! (مسابقه‌ي شماره‌‌ي 34)مسابقه كامپيوتر
در اين مسابقه‌ كافي است شما تلاش كنيد و رابطه‌ي بين شماره‌ي هر كمد و تعداد كمدها را به‌دست آوريد. در ضمن بايد بدانيم كه روابط بازگشتي‌ كليد حل مسائل زيادي در علوم رياضي و كامپيوتر هستند ... سؤال همراه با جواب

دانش‌اموز بي‌حوصله

و بازي با كمدها




 سؤال


دانش‌اموز بي‌حوصله‌اي در سالني قدم مي‌زند كه در آن كمدهاي دربسته‌اي با شماره‌هاي 1 تا 1024 در يك رديف قرار گرفته‌اند. او درب كمد شماره‌ي 1 را باز مي‌كند و درب كمدها را يكي در ميان مي‌گشايد. پس از اين‌كه به انتهاي سالن رسيد برمي‌گردد. 



به اولين كمد در بسته‌اي كه برسد درب آن را باز مي‌كند و سپس درب كمدها را يكي در ميان مي‌گشايد. اين دانش‌اموز آن‌قدر مي‌رود و مي‌آيد كه درب همه‌ي كمدها باز شود. شماره‌ي آخرين كمدي كه او دربش را باز كرده است چيست؟



 

دانش‌آموز بي‌حوصله‌اي در سالني كه در آن كمدهاي دربسته‌اي با شماره‌هاي 1 تا 1024 در يك رديف قرار گرفته‌اند قدم مي‌زند. او در كمد شماره 1 را باز مي‌كند و سپس در كمدها را يكي در ميان باز مي‌كند. پس از اينكه به انتهاي سالن رسيد، بر مي‌گردد. به اولين كمد در بسته‌اي كه برسد در آن را باز مي‌كند و سپس در كمدها را يكي در ميان باز مي‌كند. اين دانش‌آموز آنقدر مي‌رود و مي‌آيد كه در همه كمدها باز شود. شماره آخرين كمدي كه او درش را باز كرده است چيست؟

(آزمون دعوتي رياضيات آمريكا، 1996)

جواب 1


فرض كنيد  كمد در يك رديف قرار گرفته باشند و  شماره‌ي آخرين كمدي باشد كه دربش باز مي‌شود. وقتي كه دانش‌اموز براي اولين بار برمي‌گردد  كمد در بسته باقي‌مانده است. شماره‌ي همه‌ي اين كمدهاي دربسته زوج است و از جايي كه دانش‌اموز ايستاده است به‌ترتيب نزولي قرار گرفته‌اند.

اكنون از آخر، جايي كه دانش‌آموز ايستاده است، كمدهاي بسته را دوباره از 1 تا  شماره‌گذاري كنيد. توجه كنيد كه در ابتدا شماره‌اش n بوده است (كه در اين‌جا  n عددي زوج است). اكنون شماره‌اش  است. چون  شماره‌ي آخرين كمدي است كه در شماره‌گذاري جديد دربش باز مي‌شود لذا:

 

 



(رابطه‌‌ي 1)

پس:


 

 

(رابطه‌‌ي 2)

اگر از اين رابطه‌ي بازگشتي يك‌بار ديگر استفاده كنيم رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

 

                   

 



(رابطه‌‌ي 3)

وقتي تعداد كمدها 1024 يا  است آخرين كمدي كه دربش باز مي‌شود  خواهد بود. چون ، اگر از رابطه‌ي 3 چند بار استفاده كنيم معلوم مي‌شود كه:
 













جواب 2


رابطه‌ي بازگشتي 3 را - كه مي‌توان آن را به‌شكل ذيل نوشت - حل مي‌كنيم:





(رابطه‌ي 4)

چون و پس داريم:


اگر  k عددي زوج باشد




اگر  k عددي فرد باشد

(رابطه‌ي 5)

اين دستورها را مي‌توان يك‌جا به‌شكل ذيل هم نوشت:






(رابطه‌ي 6)

به‌ويژه اين‌كه:




(رابطه‌ي 7)

سؤالي ديگر



به‌نظر شما اگر 1000 كمد در سالن باشد راه‌حل چه تغييري مي‌كند؟

1386/6/16لينک مستقيم

فرستنده :
مولی HyperLink HyperLink 1386/7/11
مـتـن : ابتدا از شماره 1 شروع می کند و یکی در میان درب کمدها را باز می کند تا کمد شماره 1023 را باز می کند و وقتی به انتهای سالن می رسد بر می گردد. اینک اولین کمد دربسته کمد شماره 1024 است که درب آن را باز می کند و کار را تا آنجا ادامه می دهد که به کمد شماره 2 می رسد و وقتی آن را باز کرد، دیگر درب تمام کمدها باز شده است. در این حالت کمد شماره 2 آخرین کمدی است که او دربش را باز کرده است. اما ممکن است منظور شما این باشد که وقتی کمد شماره 1023 را باز کرد، از همانجا بر می گردد و کمد 1022 را باز می کند تا در نهایت کمد 2 را باز کند. حالا تنها کمدی که دربسته باقی مانده است، کمد شماره 1024 است که می رود و درب آن را باز می کند. پس در این حالت شماره آخرین کمدی که او باز کرده می شود 1024. البته چون سوال به نظر من کمی گنگ بود، این 2 حالت را در نظر گرفتم. متشکرم.
پاسـخ :سلام دوست عزیز ، متاسفانه جواب شما نادرست است !
هر چند اگر درست هم بود باید توضیح بیشتری میدادید.

فرستنده :
الهام HyperLink HyperLink 1386/7/11
مـتـن : آخرين كمدي كه درش را باز مي كند .كمد شماره 2 است .
پاسـخ :سلام دوست عزیز ، متاسفانه جواب شما نادرست است !
هر چند اگر درست هم بود باید توضیح بیشتری میدادید.

فرستنده :
الهام HyperLink HyperLink 1386/7/11
مـتـن : آخرين كمدي كه درش را باز مي كند .كمد شماره 2 است .
پاسـخ :سلام دوست عزیز ، متاسفانه جواب شما نادرست است !
هر چند اگر درست هم بود باید توضیح بیشتری میدادید.

فرستنده :
محمدعلي رحيمي HyperLink HyperLink 1386/7/11
مـتـن : به نظر من كمد شماره 1023 آخرين كمد خواهد بود.
پاسـخ :سلام دوست عزیز ، متاسفانه جواب شما نادرست است !
هر چند اگر درست هم بود باید توضیح بیشتری میدادید.

فرستنده :
صابر HyperLink HyperLink 1386/7/11
مـتـن : از شما ممنونم كه زحمت ميكشيد و سوالات را در وبلاگ ميگذاري در ضمن كمي سوالات راسخت تر كنيد
پاسـخ :سلام دوست عزیز ،
از شما متشكريم !

فرستنده :
صابر HyperLink HyperLink 1386/7/11
مـتـن : كمد شماره ي 1024
پاسـخ :سلام دوست عزیز ، متاسفانه جواب شما نادرست است !
هر چند اگر درست هم بود باید توضیح بیشتری میدادید.

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1386/7/11
مـتـن : 1024
پاسـخ : سلام دوست عزیز ، متاسفانه جواب شما هم ، نادرست است !
هر چند اگر درست هم بود باید توضیح بیشتری میدادید.

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1386/7/11
مـتـن : 2
پاسـخ :سلام دوست عزیز ، متاسفانه جواب شما نادرست است !
هر چند اگر درست هم بود باید توضیح بیشتری میدادید.

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 المپیاد کامپیوتر

 

     

 

 

صفحه‌ي اصلي

     

 

راهنماي سايت

     

 

 

آموزش

     

 

بانك سوال

     

 

 

مسابقه

     

 

 

زنگ تفريح

     

 

 

مصاحبه و گزارش

     

 

 

معرفي كتاب

     

 

 

مشاوره

     

 

 

پرسش‌و‌پاسخ‌علمي

     

 

اخبار

 

فعاليت‌هاي علمي

 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  1370
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  1370