|
اگر فكر مي‌كنيد «بزرگ» زيبا نيست يك‌بار ديگر فكر كنيد! به‌تازگي ثابت شده است كه مجموعه‌هاي «ژوليا» (Julia Sets) – «فراكتال‌هايي» كه به‌خاطر جذابيت فوق‌العاده‌اشان مشهور هستند – مي‌توانند با احتمال وقوع بالا (fat) رخ دهند و اين بدين‌معنا است كه شما فرصتي غيرصفر در برخورد با آشوب (Chaos) داريد.
مجموعه‌هاي «ژوليا» (Julia Sets) از موضوع‌هاي مورد بحث در رياضي محض است كه البته در دنيايي بزرگ‌تر، شهرت پيدا كرده است. با وجود چند استثنا، مجموعه‌هاي «ژوليا» (Julia Sets)، «فراكتال» (Fractal) محسوب مي‌شوند. اگر بر روي يكي از آن‌ها متمركز شويد (زوم كنيد) همان مقدار از موارد جزئي را در هر سطح و با همان الگوهاي تكراري دوباره و دوباره خواهيد يافت. اين وفور در ساختار و همگوني و خود-متشابه بودن، نشان‌دهنده‌ي عيار فرايندهاي ديناميكي پيچيده است كه مي‌تواند در هر چيزي از طبيعت گرفته تا فروشگاه‌هاي اجناس يافت شود.
از نظر رياضيدانان، از آن‌جايي كه رفتار سيستم‌هاي ديناميكي مجموعه‌هاي «ژوليا» (Julia Sets) در آينده غيرقابل پيش‌بيني هستند، اين سيستم‌هاي ديناميكي دربرگيرنده‌ي آشوب (Chaos) مي‌باشند.
|
.gif)
|
|
شكل 1 – مجموعه‌ي «ژوليا» (Julia)
براي چندجمله‌اي از درجه دوم
.gif) . |
سيستم‌هاي ديناميكي - فرايندهايي كه با «زمان» تغيير رويه مي‌دهند – در همه‌جا وجود دارند. به‌عنوان مثال: مي‌توان به مواردي نظير ذيل اشاره كرد:
|
- آب و هوا |
|
- فروشگاه‌هاي اجناس |
|
- واكنش‌هاي شيميايي |
|
- و ... |
مدل‌هاي رياضي مي‌تواند براي پيش‌بيني اين فرايندها به‌كار رفته و توسعه يابد. به‌عنوان مثال فرض كنيد مي‌خواهيم جمعيت حلزون‌هاي باغي را براورد كنيم. تعداد حلزون‌هايي كه محل سكونت‌شان مي‌تواند ثابت باقي بماند داراي يك حداكثر است. هم‌چنين روزانه بخشي از اين تعداد حداكثري مي‌توانند زنده بمانند.
مدل ساده‌اي براي محاسبه‌ي اين بخش – كه عددي بين «صفر» و «يك» بوده و هر ماه تغيير مي‌كند از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:
(رابطه‌ي 1)
كه در آن .gif) بخشي از حلزون‌هاي زنده در ماه .gif) ام است.
اگر امروز بخش .gif) وجود داشته باشد ماه بعد، اين بخش از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطه‌ي 2)
بخشي از حلزون‌هاي زنده در ماه بعدي در رابطه‌ي ذيل صدق مي‌كند:
(رابطه‌ي 3)
و به‌همين ترتيب مي‌توان محاسبه در ماه‌هاي بعد را انجام داد.
در رابطه‌هاي 1، 2 و 3، متغير .gif) بيانگر «نرخ رشد» (Growth Rate) جمعيت است.
بدين‌ترتيب مي‌توانيم بگوييم آن‌چه به‌طور مؤثر در حال اجرا هستيم اتخاذ مقدار شروع و به‌كار بردن دوباره و دوباره‌ي تابع .gif) بر آن است تا دنباله‌اي نظير ذيل به‌دست آيد:
(رابطه‌ي 4)
و بدين‌سان به چنين فرايندي «تكرار» (Iteration) اطلاق مي‌شود.
سؤال اين است كه مي‌توانيد تابع را - بدون نياز به انجام تمام محاسبه‌ها - براي پيش‌بيني آن‌چه به‌كار ببريد كه در تعدادي از ماه‌ها واقع خواهد شد. اين امر به مقدار «نرخ رشد» (Growth Rate) بستگي دارد:
|
«اثر پروانه‌اي» (Butterfly Effect) | اگر «نرخ رشد» مقدار ويژه‌اي نزديك به عدد 57/3 باشد تغيير جمعيت در سرتاسر زمان به‌مقدار زيادي به مقدار شروع .gif) بستگي دارد. با بررسي اندكي تغيير در اين مقدار - به‌عنوان مثال با برداشتن يكي از حلزون‌ها – مي‌توانيم مفاهيم بسيار بزرگي را دريابيم. اين مفهوم بيش‌تر به «اثر پروانه‌اي» (Butterfly Effect) شهرت داشته و علامت و به‌اصطلاح اثرانگشتي از آشوب (Chaos) محسوب مي‌شود. اگر مقدار شروع بدين‌طريق به تغييرها حساس باشد مي‌گوييم تابعي كه از آن بحث مي‌كنيم «در نقطه‌ي آشوب‌ناك (Chaotic) است».
تابع .gif) در مثال ما در همه‌ي نقاط شروع، آشوب‌ناك (Chaotic) نيست: اگر در نقاط شروع ديگر (به‌عنوان مثال: بزرگ‌تر يا كوچك‌تر از «صفر») آن را بررسي كنيم متوجه مي‌شويم كه هيچ «اثر پروانه‌اي» (Butterfly Effect) وجود نخواهد داشت؛ بدين‌ترتيب بدون آن‌كه «نقطه‌ي شروع» اهميتي داشته باشد به‌سادگي دنباله‌اي از اعداد منفي كوچك‌تر و كوچك‌تر به‌دست خواهد آمد به‌طوري كه به‌شكلي پيوسته به «منفي بي‌نهايت» نزديك مي‌شود. در اين مثال، تغيير در «نقطه‌ي شروع» اهميتي نخواهد داشت. بدين‌گونه يك تابع مي‌تواند در نقاطي آشوب‌ناك (Chaotic) و در ديگر نقاط كاملاً قابل‌پيش‌بيني باشد.
|
.gif)
|
|
شكل 2 – مجموعه‌ي «ژوليا» (Julia)
از چندجمله‌اي از درجه‌ي دوم
.gif) . |
|
مجموعه‌هاي «ژوليا» (Julia) | تابع .gif) آن‌چيزي است كه چندجمله‌اي درجه‌ي دوم ناميده شده و داراي شكل ذيل است:
(رابطه‌ي 5)
كه در آن .gif) اعدادي ثابت هستند.
وقتي اولين بار مفهوم آشوب (Chaos) مطرح شد رياضيدانان را متحير كرد. هم‌چنين مشخص شد درباره‌ي فرايندهايي كه واقعاً به‌عنوان «ديناميك» (Dynamics) شناخته شده‌اند و رفتارهاي آشوب‌ناك (Chaos)، بايد از اين توابع و از مثال‌هاي بسيار ساده آغاز شود.
اما هر آن‌چه بدين‌ترتيب انجام گرفته با مجموعه‌هاي «ژوليا» (Julia) بايد انجام شود. اكنون به‌عنوان مثال: تابعي چندجمله‌اي از درجه‌ي دوم نظير: درنظر گرفته و ترجيحاً به آن به‌عنوان تابعي از اعداد «حقيقي» نگاه مي‌كنيم ولي در عين حال به‌عنوان تابعي از اعداد «مختلط» (Complex) به آن توجه مي‌كنيم.
اكنون همه‌ي نقاطي را از صفحه‌ي اعداد «مختلط» درنظر بگيريد كه تابع در آن‌ها غيرقابل پيش‌بيني رفتار مي‌كند. اين همان مجموعه‌ي «ژوليا» (Julia) است.
هر چندجمله‌اي از درجه‌ي دوم و «مختلط» داراي مجموعه‌ي «ژولياي» (Julia) خودش است كه بعد از چند مرحله تكرار، شامل آن نقاطي است كه تنوع كم در مقادير شروع منجر به تفاوت‌هاي بسيار عظيم مي‌شود.
مجموعه‌هاي «ژوليا» (Julia) اولين بار و به‌طور جداگانه در سال 1298 (1919 ميلادي) توسط محققاني به‌نام «گاستون ژوليا» (Gaston Julia) و «پير فاتو» (Pierre Fatou) تعريف شد اما تا سال 1359 (1980 ميلادي) توجه كمي به اين مطالب مي‌شد؛ در اين سال «گرافيك كامپيوتري» (Computer Graphics) زيبايي متحيركننده‌اش را نشان داد.
همان‌طور كه رياضيدانان نتايج تحقيقات گذشته را منتشر مي‌كردند دريافتند هر چندجمله‌اي مستقل از درجه‌ي دوم مي‌تواند آشوب (Chaos) ايجاد كند. بدون توجه به انتخاب چندجمله‌اي از درجه‌ي دوم ، هميشه نقاطي در صفحه‌ي اعداد «مختلط» وجود دارد كه در آن به‌طور غيرقابل پيش‌بيني رفتار مي‌كند؛ به‌گونه‌اي كه يك مجموعه‌ي «ژوليا» (Julia) براي هر وجود دارد. به‌عبارت ديگر آيا آن مجموعه در مجموعه‌هاي «ژولياي» (Julia) تابع قرار دارد؟
در نگاه اول به‌نظر مي‌رسد اين احتمال براي همه‌ي توابع ممكن «صفر» است. آشوب (Chaos) وجود دارد اما با احتمال كم (Thinly) گسترده شده‌اند.
«آدرين دوادي» (Adrien Douady) يكي از پيشگامان در اين زمينه مي‌گويد: «تا حدود سال 1369 (1990 ميلادي) معمولاً بين متخصصين تصور مي‌شد كه مجموعه‌هاي «ژوليا» (Julia) مربوط به چندجمله‌اي‌هاي «مختلط» با احتمال خيلي كم (Very Thin) است يعني در آن، همه‌ي فرصت‌‌هايي براي اين‌كه يك نقطه به‌طور اتفاقي و با رفتاري «معمول» (Tame) بر روي نقطه‌اي بيافتد با احتمال «صفر» تا آشوب (Chaos) است.
ثابت شده است كه اين مسأله براي بسياري از چندجمله‌اي‌ها ثابت شده است. سپس اعتقاد عمومي به‌كندي به‌تصور اين امر تغيير مي‌يابد كه رفتار آشوب‌ناك (Chaotic) مي‌تواند در دفعه‌هاي بيش‌تري تكرار شود. اما هنوز اثباتي براي همه‌ي وجوه آن وجود ندارد.
|
|
|
«آرنائود چريتات» (Arnaud Chéritat) |
|
|
.jpg)
|
|
«خاوير بوف» (Xavier Buff) |
نهايتاً در مهر 1384 (2005 ميلادي) دو استاديار جوان به‌نام‌هاي «آرنائود چريتات» (Arnaud Chéritat) و «خاوير بوف» (Xavier Buff) نشان دادند چندجمله‌اي‌هايي وجود دارند كه براي آن‌ها احتمال مثبت براي قرار گرفتن در مجموعه‌ي «ژوليا» (Julia) وجود دارد».
و اين حالت‌ها كه در آن آشوب (Chaos) با فراواني بيش‌تري يافت مي‌شوند مجموعه‌هاي «ژولياي با احتمال بالا» (Fat) ناميده مي‌شوند.
|
.gif)
|
|
شكل 3 – مجموعه‌ي «ژولياي» (Julia)
چندجمله‌اي .gif) . |
|
نظريه‌‌ي «سيستم‌هاي ديناميكي» (Dynamical Systems) | نتيجه از منظر «رياضيات محض» (Pure Mathematics)، نظريه‌‌ي «سيستم‌هاي ديناميكي» (Dynamical Systems) ناميده شده و مشكل است نوع احتمال در زندگي واقعي را بيان كرد؛ اما بخش مهمي در مشكل فهم رياضياتي است كه پشت خيلي از مسائل اساسي و ريشه‌اي در آشوب (Chaos) وجود دارد.
در بعضي حالت‌ها حتي نظريه‌‌ي «سيستم‌هاي ديناميكي» (Dynamical Systems) يك مرحله عقب‌تر است: در تلاش محققان براي توصيف خانواده‌ي چندجمله‌اي‌ها از درجه‌ي دوم به‌عنوان يك كل، رياضيدانان فهميدند اگر تنها مي‌شد چنين فرض كرد كه هيچ مجموعه‌ي «ژولياي با احتمال بالا» (Fat) وجود نداشته باشد نتايجي مرتب و زيبا مي‌تواند اثبات شود.
آن‌ها اكنون مجبور خواهند بود يك بحث ريشه‌اي متفاوتي بيابند. اما آيا مجموعه‌هاي «ژولياي با احتمال بالا» (Fat) تنها غيرقابل انتظار هستند يا واقعاً به مفاهيم رياضي عميقي اشاره دارند؟
«آدرين دوادي» (Adrien Douady) مي‌گويد: «غيرمعمول بودن اين وضعيت چگونه است؟ اين سؤالي است كه قابل‌بحث است. در رياضيات همانند ساير علوم، هربار جواب سؤالي را مي‌يابيم «در» بحث‌هاي جديدي را گشوده‌ايم».
|