جستجو بر اساس تاريخ مطلب
 مطالب پیشنهادی
 آشنایی بیشتر با کاربردهای انتگرال
آشنایی بیشتر با کاربردهای انتگرالمشاهده‌ي علمي
مشاهده‌ی شماره 74
مشاهده‌ی قبلی: تجزیه و تحلیل کیفی   مشاهده‌ی بعدی: باز هم شایعه‌ی نادرست، این بار خاموشی کامل کره زمین


 

 

 

  مقدمه


 


انتگرال از جمله‌ مفاهیمی در ریاضیات است که سرچشمه و تکامل آن، به صورتی جدی، به مسایل کاربردی بستگی دارد. این مفهوم و روش‌هایی که براساس آن ساخته شده‌اند، در گوناگون‌ترین شاخه‌های علمی و عملی فعالیت‌های انسانی، مثل فیزیک، شیمی، زیست شناسی، اقتصاد، رشته‌های فنی و غیره کاربرد دارد. کاربردهای گسترده‌ای از این مفهوم، در برنامه‌ی درسی پیش‌دانشگاهی رشته‌ی ریاضی- فیزیک دبیرستان و به صورتی محدودتر در رشته‌ی تجربی گنجانده شده‌است و زیر عنوان‌های انتگرال‌گیری و یا محاسبه‌ی تابع‌های اولیه، دانش‌آموزان را به ریاضیات و جنبه‌های کاربردی آن علاقه‌مند می‌کند و بر شکل‌گیری درک آن‌ها از جهان امروز و نقش ریاضیات در آن، تاثیری مثبت می‌گذارد.

 

با وجود این، تجربه و عمل نشان داده‌ است که، در اغلب موارد، تنها به کاربرد هندسی این مفهوم توجه می‌شود و درباره‌ی کاربرد انتگرال در فیزیک، شیمی و شاخه‌های فنی، تقریبا صحبتی به میان نمی‌آید. درس آنالیز ریاضی در کتاب‌های درسی، طرح تابع اولیه و انتگرال در آن‌ها و مجموعه‌ی مساله‌های مربوط به آن، گواه بر این امر است، و این، موجب می‌شود که دانش‌آموز، دچار این تصور نادرست باشد که، گویا، انتگرال‌گیری تنها با محاسبه‌ی مساحت‌ها و حجم‌ها، بستگی دارد و در دانش‌های دیگر، نقشی به عهده نمی‌گیرد.

 

در این مقاله، سعی شده‌ است با طرح مساله‌های تکمیلی در زمینه‌ی کاربرد انتگرال در هندسه، فیزیک و شاخه‌های فنی این کمبود، دست کم تا حدی، جبران شود. و همچنین این مساله‌ها، با مساله‌هایی که در کتاب درسی یا کتاب‌های کمک درسی مطرح شده است، متفاوت باشند و موجب بازتر شدن دید خواننده نسبت به مفهوم انتگرال شوند.

 

  مساله‌ها

 

 

 

 

 

 

1. یک تکیه‌گاه داسی شکل از ورقه‌ی آهن مسطح 10 میلی‌متری تهیه شده است. وزن این تکیه‌گاه را پیدا کنید، به شرطی که محیط بیرونی و درونی آن روی منحنی‌های سهمی باشند (شکل 1).

 

 

 

راهنمایی: وزن پایه طبق دستور m=ρSd محاسبه می‌شود که، در آن، ρ وزن مخصوص فلز (ρ=7.8×103  Kg/m3ا S سطح مقطع پایه و d ضخامت آن است (d=0.01 m). محورهای قائم مختصات را در نظر بگیرید و معادله‌ی دوره‌های بالایی و پائینی پایه را به‌دست آورید:

 

 

شکل 1

 

 

 

 

و سپس، مساحت شکل بین دو منحنی را پیدا کنید.

 

پاسخ:


m = 7.8 × 103 × 8 × 10-2 = 624



2.  تعداد نوعی حشره، با سرعت (v = v(T واحد در سال رشد می‌کند. تعداد این حشره در 5 سال، چقدر زیاد می‌شود؟

 

راهنمایی: اگر T∆ به قدر کافی کوچک باشد، سرعت رشد در بازه‌ی [T,T+∆T] اختلاف ناچیزی با (v(T دارد. بنابراین ∆N ≈ v(T) × ∆T ، یعنی (N'(T) = vd(T و در نتیجه:

 

پاسخ:

 

 


 

3.  مطلوب است نیروی فشار وارد بر سدی که به شکل مثلثی متساوی الساقین با قاعده‌ی a متر و ارتفاع h است.

 

پاسخ: در هیدروستاتیک، برای محاسبه‌ی فشار مایع (برحسب نیوتن) بر یک قطعه سطح افقی، از دستور P=0.907 ρSx استفاده می‌کنند که، در آن، مساحت قطعه سطح (به متر مربع)، x ارتفاع مایع روی قطعه سطح (به متر)، 907/0 شتاب سقوط آزاد (بر حسب متر بر مجذور ثانیه) و ρ چگالی مایع (برحسب کیلوگرم بر متر مکعب) است، در ضمن در مساله‌ی ما ρ=1000 است.

 

در حالتی که قطعه سطح افقی نباشد، فشار مایع وارد بر آن در عمق‌های مختلف، متفاوت است و، بنابراین، نیروی فشار  P بر قطعه سطح تابعی از عمق x آب است. سد را به تقریب در دستگاه محورهای مختصات قائم در نظر می‌گیریم (شکل 2) و قطعه‌ی EKMT را که در عمق از x تا x+∆x آب قرار دارد، جدا می‌کنیم. اگر∆x  را به قدر کافی کوچک بگیریم، آن وقت عمق هر نقطه‌ی این قطعه، اختلاف ناچیزی با x دارد و مساحت ∆S  این قطعه، تقریبا برابر با مساحت مستطیل EKK1E1، یعنی ∆S≈f(x)×∆x  می‌شود که، در آن، (f(x طول قاعده‌ی EK از این مستطیل است.

 

 

شکل 2

 

در این جا f(x)=(a(h-x))/h (چرا؟). نمو ∆P  نیروی فشار، ضمن عبور از x به x+∆x، عبارت است از نیروی فشاری که بر قطعه‌ی EKMT عمل می‌کند و، بنابراین، می‌توان نوشت:

 

∆P≈9.807ρ.∆S.x ≈ 9.807ρ.f(x).∆x.x

 

 از آن جا ∆P/∆x ≈ 9.807ρf(x).x ، اگر، به ازای ∆x→0 ، به حد عبور کنیم، به دست می‌آید: P'(x) = 9.807ρf(x)  و در نتیجه خواهیم داشت:

 

 

 


غلامرضا پورقلی

دانشجوی دکتری ریاضی

دانشگاه تهران


 

مشاهده‌ی قبلی: تجزیه و تحلیل کیفی   مشاهده‌ی بعدی: باز هم شایعه‌ی نادرست، این بار خاموشی کامل کره زمین
1391/7/16لينک مستقيم

فرستنده :
حسین HyperLink HyperLink 1391/9/22
مـتـن : سلام
باتشکر
سایتتون عالیه
پاسـخ : باسلام دوست عزیز، از لطف و همراهی شما تشکر می کنیم. موفق باشید

فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1391/7/23
مـتـن : باسلام. ممنون از مطالب مفید و جامع سایتتون
پاسـخ :سلام،
ممنون از شما که ما را همراهی می‌کنید و به ما دلگرمی می‌دهید.

نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 محتواي زنده مشاهده علمي

 فعاليت هاي علمي
 تماس با ما
 بازديدها
كاربران غيرعضو آنلاينكاربران غيرعضو آنلاين:  6200
 كاربران عضو آنلاين:  0
  کل كاربران آنلاين:  6200