اين دو محقق به‌همراه گروهي ديگر از محققان در حال آماده‌سازي سايتي هستند كه در آن به موضوع: «درك عدم قطعيت» (Understanding Uncertainty) خواهند پرداخت. در اين سايت بنا دارند از «ريسك» (Risk) و «عدم قطعيت» (Uncertainity) سخن به‌ميان آورند. اين سايت بنا به ادعاي‌شان بهار 1387 (2008 ميلادي) افتتاح خواهد شد.

عامه‌ي مردم حتي اگر يك «معيار انتخاب» را براي اين موارد بپذيرند هنوز به «شانس» اعتقاد ندارند.

مثال ذيل مي‌تواند نمونه‌اي از اين امر محسوب شود:

همان‌طور كه در نگاهي مختصر بررسي خواهيم كرد «جدول ليگ» (League Table) در تمام تاريخ قرعه‌كشي‌ها نشان داده است كه برخي اعداد داراي امتياز بيش‌تري براي انتخاب شدن هستند. اين در حالي است كه بعضي از اعداد بعد از چندين دفعه قرعه‌كشي اصلاً انتخاب نمي‌شوند.

آيا تقلبي شده يا دست خدا در كار بوده است؟

لزوماً اين‌گونه نيست؛ در حقيقت قايل شدن به «ارزش از قبل تعيين شده» (Face-Value) در مورد «جدول ليگ» (League Table) كاملاً نادرست است. در اين مورد واقعاً «شانس» در كار است. در اين زنگ تفريح به اين مسأله دقيق‌تر پرداخته مي‌شود.

شش توپ به‌قيد قرعه از ميان مجموعه‌اي از 49 توپ داراي شماره انتخاب مي‌شوند. اگر دانش‌اموزي به‌طور صحيح شش عدد را پيش‌بيني كند در جايزه‌ي درنظر گرفته شده سهيم مي‌شود. انيميشن شكل 3 نشان مي‌دهد چند وقت به چند وقت هر يك از 49 عدد در اولين 1240 مورد قرعه‌كشي ممكن است انتخاب شوند.

اگر اعداد انتخاب شده در اولين قرعه را از سال 1373 (1994 ميلادي) بررسي كنيم متوجه مي‌شويم كه بر روي يك عدد تمركز بيش‌تري وجود داشته است. اگر بر روي كليد «مرتب كردن» كليك كنيد اعداد برحسب «مرتبه» طبقه‌بندي مي‌شوند. كليد «اجراي سريع» براي بالا بردن سرعت عمليات اجرايي است. زماني كه انيميشن پايان مي‌يابد آن‌چه مشاهده مي‌شود اعداد براساس مرتبه‌ي «فركانس» طبقه‌بندي شده‌اند. دانش‌اموزي كه عدد 38 را انتخاب كرده برنده‌ي واقعي است!

با كليك كردن بر «هيستوگرام» مي‌توانيد نموداري ستوني ايجاد مي‌شود كه براي هر مقدار ، تعداد پيشامدهاي واقع شده دقيقاً به‌تعداد  دفعه را نشان مي‌دهد. كليك كردن بر كليد «به‌تصوير كشيدن» (Start Dropping)، نشان مي‌دهد كه چگونه نمودار ستوني مذكور رسم مي‌شود. به‌نظر مي‌رسد اين توزيع كه بعضي از اعداد بيش از ديگران ظاهر مي‌شوند كاملاً شايع باشد.

ياداوري – در حالت «اجراي سريع»، كليد «به‌تصوير كشيدن» (Start Dropping) دردسترس نيست.

مي‌توانيم با نگاه بر «شكاف» (Gap) بين هر دفعه كه يك عدد به‌طور تصادفي انتخاب مي‌شود از زاويه‌ي ديگري به اين بحث بپردازيم. انيميشن شكل 4 مسير هر دفعه‌اي را نشان مي‌دهد كه يك عدد به‌طور تصادفي انتخاب نمي‌شود.

اگر به‌دقت به شروع سال 1379 (2000 ميلادي) توجه داشته باشيد بيش‌ترين «شكاف» (Gap) مشاهده شده را 72 مي‌يابيد كه براي عدد 17 است. اين عدد در قرعه‌ي 435ام در پنجم اسفند 1379 (23 فوريه‌ي 2000 ميلادي) به‌دست آمده است؛ اما دوباره تا قرعه‌ي 508ام در چهاردهم آبان 1379 (چهارم نوامبر 2000 ميلادي) به‌قيد قرعه انتخاب نمي‌شود.

برگشت به محاسبه‌هاي گذشته نشان مي‌دهد چنين «شكافي» (Gap) حقيقتاً به‌ندرت انجام مي‌شود. شانس وقوع يك عدد به‌خصوص در يك تك‌قرعه برابر است و بدين‌معنا است كه احتمال اين‌كه يك عدد انتخاب نشود  است. شانس وقوع رويداد 72 دفعه در يك رديف،  است كه تقريباً  يا  است!

آن‌چه «جداول ليگ» (League Tables) تاكنون به ما نشان داده است (عدد خوشبخت 38 و «شكاف» (Gap) از لحاظ اندازه‌ غيرمحتمل) به‌نظر نمي‌رسد كه به‌خوبي با فرض «صحت تصادفي بودن» تطبيق داشته باشد. اين نقطه‌اي است كه درك آن مشكل بوده و ممكن است دچار باور وقوع فريب در قرعه‌كشي شده يا عواملي آسماني را دخيل بدانيم!!

اما با كمي تفكر رياضي مي‌توان فهميد كه ممكن است به‌طور شانسي چنين چيزي اتفاقد بيافتد بنابراين نفس عميقي كشيده و به‌اصطلاح مدادتان را تيز كنيد!!

ابتدا نياز داريد يك «توزيع نظري از احتمال» (Theoretical Probability Distribution) را بر اين فرض قرار دهيد كه قرعه‌ي موردنظر تصادفي باشد. فرض كنيد  تعداد گوي‌ها در كيف باشد به‌گونه‌اي كه در اين حالت داشته باشيم:

اگر اعداد به‌طور تصادفي انتخاب شده باشند براي هر يك، شانس بيرون آمدن از قرعه  بوده و بنابراين در اين حالت داريم:

بنابراين شانس يك عدد براي عدم انتخاب در قرعه از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 4)

براي بررسي احتمال اين‌كه از  قرعه دقيقاً  دفعه، عددي ويژه به‌طور تصادفي انتخاب شود سه عامل را بايد درنظر بگيريم:

	عامل اول اول آن‌كه آن عدد  دفعه انتخاب شود. در اين حالت، شانس  خواهد بود.
	عامل دوم دوم آن‌كه آن عدد دفعه انتخاب نشود. در اين حالت، شانس  خواهد بود. بنابراين شانس دنباله‌ي ويژه‌ي با  دفعه «انتخاب» و  دفعه «عدم انتخاب» از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد: (رابطه‌ي 5)
	عامل سوم سومين نكته كه بايد ياداوري شود آن است كه تعداد  دنباله‌ي متفاوت از  دفعه انتخاب و  دفعه عدم انتخاب وجود دارد. هر كدام از اين موارد به‌ميزان  در شانس كلي مشاركت مي‌كند. بنابراين اين شانس كه در  قرعه، اعداد مورد نظرمان دقيقاً  دفعه انتخاب شوند از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد: (رابطه‌ي 6)

رابطه‌ي 6 «توزيع دوجمله‌اي» (Binomial Distribution) با متغيرهاي  و  است. اين توزيع داراي «ميانگين» (Mean)  و «واريانس» (Variance)  است. در اين‌جا به مقادير بزرگ علاقه‌مند بوده و براي اين مقادير با تطبيق «ميانگين» و «واريانس»، «توزيع نرمال» (Normal Distribution) تقريباً با «توزيع نرمال نظري» (Theoretical Normal Distribution) نزديك است.

در شكل 5 «توزيع واقعي» اعداد قرعه‌كشي شده با «توزيع نرمال نظري» (Theoretical Normal Distribution) مقايسه شده است. «توزيع واقعي» اعداد قرعه‌كشي شده با رنگ «سفيد» و «توزيع نرمال نظري» با رنگ «خاكستري» نشان داده شده است. «توزيع واقعي» ناهموار ديده مي‌شود ولي «توزيع نظري» به ما اجازه مي‌دهد بررسي كنيم كه آيا عددي كه اولين دفعه قرعه‌كشي مي‌شود در حقيقت به‌طور اعجاب‌انگيزي دور است.

مي‌توانيم «توزيع نظري» «شكاف‌ها» (Gaps) بين اعداد را به روشي مشابه ايجاد كنيم. عدد به‌خصوصي نظير  را درنظر بگيريد. قرعه‌اي را «موفق» بناميد كه عدد انتخاب شود و در غير اين‌صورت «شكست» نام‌گذاري كنيد. همانند قبل، شانس «موفقيت»  خواهد بود.

فرض كنيد  تعداد «شكست‌ها» قبل از اولين «موفقيت» ‌باشد به‌عبارت ديگر «شكاف» (Gap) قبل از  دوباره به‌طور تصاوفي انتخاب شود. شانس  براي انتخاب تصادفي عدد به‌خصوص  همانند شانس مشاهده‌ي سري‌اي از  «شكست» بعد از يك «موفقيت» است؛ بنابراين داريم:

اين همان «توزيع هندسي» (Geometric Distribution) است. به اين معنا كه از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

بنابراين «طول شكاف ميانگين» (Mean Gap Length) حدود 7 است.

ياداوري – «توزيع» (Distribution) گاهي اوقات بدين‌صورت تعريف مي‌شود: «زمان تا اولين موفقيت» كه در اين‌جا به  بستگي دارد.

«هيستوگرام» در شكل 7 توزيع همه‌ي شكاف‌ها را با «توزيع هندسي نظري فراتر» (The Theoretical Geometric Distribution Superimposed) نشان مي‌دهد. شكاف‌ها در پايين و بالاي 40 به‌گونه‌اي تقسيم شده‌اند كه شكاف‌هاي بزرگ به‌طور واضح نشان داده شوند. به‌نظر مي‌رسد «توزيع نظري» بر «توزيع مشاهده شده» تطبيق دارد اگرچه به‌ضرورت، ناهمواري‌هاي كوچكي در دنباله وجود دارد.

آن‌چه بايد پرسيده شود آن است كه: «بعد از 1240 قرعه، شانس اين‌كه هر يك از شكاف‌ها بين دو قرعه از همان عدد بزرگ‌تر از 72 باشد چقدر است؟»

براي اين منظور ابتدا نياز داريم بدانيم كلاً چه تعداد شكاف موجود است. 1240 قرعه وجود داشته است كه هر كدام بيانگر 6 عدد هستند؛ بنابراين در مجموع  عدد قرعه كشيده شده است. هربار يك عدد ظاهر مي‌شود شكافي متناسب با بعد از آن مشاهده مي‌شود كه شامل شكاف اوليه است تا اين‌كه هر عدد براي اولين بار به‌قيد قرعه ظاهر شود.

اكنون سؤال ذيل مطرح مي‌شود: «شانس اين‌كه بزرگ‌ترين 2440 شكاف‌ حداقل 72 باشد چقدر است؟»

مي‌توانيم اين شانس را با استفاده از توزيع‌مان حدس بزنيم:

كه در آن داريم:

	= شانس اين‌كه حداكثر شكاف حداقل 72 باشد
	= شانس اين‌كه حداكثر شكاف كوچك‌تر از 72 باشد
	= شانس اين‌كه همه‌ي شكاف‌ها‌ كوچك‌تر از 72 باشد
	= شانس اين‌كه  كوچك‌تر از 72 باشد.

بخش پاياني رابطه‌ي 9 بدين‌علت برقرار است كه احتمال اين‌كه همه‌ي شكاف‌ها كم‌تر از 72 بوده تقريباً با حاصل‌ضرب 7440 احتمال معادل برابر باشد كم‌تر از 72 است.

ياداوري – نتيجه تنها تقريبي است به‌خاطر اين‌كه وابستگي اندكي بين شكاف‌ها در رابطه با اين امر وجود دارد كه هميشه 6 عدد در هر قرعه موجود باشد. بعداً چگونگي خوب بودن چنين تقريبي را بررسي خواهيم كرد.

بنابراين رابطه‌ي ذيل صادق خواهد بود:

نتيجه نشان مي‌دهد كه يك شكاف حداكثر با طول 72 به‌هيچ وجه غيرمنتظره نخواهد بود. در حقيقت، شانس 50 – 50 مربوط به شكاف با حداقل طول در 1240 قرعه خواهد بود.

براي بررسي صحت اين نتيجه مي‌توانيم از شبيه‌سازي «ساختگي» (Fictional) تاريخچه‌ي قرعه‌كشي بر روي يك كامپيوتر استفاده كنيم. بدين‌ترتيب كه 6 عدد متفاوت را به‌صورت تصادفي از 1 تا 49 انتخاب كنيم؛ سپس اين فرايند را 1240 بار تكرار مي‌نماييم.

نرم‌افزاري كه استفاده مي‌كنيم شامل توليدكننده‌هاي اعداد تصادفي باشد كه بايد ما را متقاعد كند كه هر عدد حقيقتاً داراي شانس مساوي براي انتخاب شدن است. بدين‌ترتيب 1000 مورد تاريخي از قرعه‌كشي شبيه‌سازي شده و متوجه مي‌شويم كه بزرگ‌ترين شكاف در هر مورد شامل 470 مورد (47 درصد) خارج از 1000، 72 يا بيش‌تر است (شكل 8) كه به احتمال نظري تقريبي ما يعني 46/0 (رابطه‌ي 10) شبيه است و نشان‌دهنده‌ي درستي رابطه‌ي 10 است.

«توزيع دوجمله‌اي» (Binomial Distribution) بالا مي‌گويد انتظار داريم بعد از  قرعه هر عدد ويژه‌اي با تعداد دفعه‌هاي ذيل ظاهر شود:

در اين مثال، قرعه‌كشي توسط معلم به  يا تقريباً  بستگي دارد. بنابراين براي مثال بعد از 1240 قرعه انتظار خواهيم داشت هر عدد انتخاب شده حدود  دفعه ظاهر شود. اكنون تعداد كل دفعه‌هايي كه هر عدد بعد از  قرعه ظاهر مي‌شود را به آن بيافزاييد؛ سپس آن را ،  و ... بناميد تا اين‌كه به  برسيد.

براي هر عدد ، عبارت ذيل معياري است براي «عدم هم‌خواني» (Discrepancy) بين آن‌چه مشاهده مي‌شود و آن‌چه انتظار داريم:

اگر مقادير  را براي 49 مقدار  جمع ببنديم معياري كلي براي «عدم هم‌خواني» (Discrepancy) به‌دست خواهد آمد. نتيجه‌ي به‌دست آمده اصطلاحاً «آمار چي دو» (Chi Squared Statics) ناميده و با  نشان داده مي‌شود. براي همانندسازي لازم است «آمار چي دو استاندارد» (Standard Chi Squared Statics) را در مقدار  ضرب كنيم. علت آن است كه همان‌طور كه قبلاً ذكر شد مقادير كلي كاملاً مستقل نيستند. اين شگردها در «نظريه‌ي آمار» (Statistical Theory) انجام مي‌شود كه قصد نداريم وارد اين مبحث شويم.

تنها به‌عنوان اين‌كه حداكثر استفاده را از «توزيع نظري» (Theoretical Distribution) در وقوع هر تعدادي كرده باشيم بسته به اين فرض كه «قرعه‌كشي» تصادفي است ممكن است نهايتاً به توزيع  نياز داشته باشيم كه به آن اصطلاحاً يك «توزيع چي دو استاندارد» (Standard Chi Squared Distribution) در وضعيت  «درجه‌ي آزادي» (Degree of Freedom) اطلاق مي‌شود.

اين به ما مي‌گويد كه شانس ظاهر شدن عدد مورد نظرمان براي  - با اين فرض كه قرعه‌كشي واقعاً تصادفي است يعني همه‌ي توپ‌هايي كه به‌قيد قرعه انتخاب مي‌شوند از لحاظ آماري مستقل هستند - «كم» است مثلاً: 05/0 يا 5 درصد. به اين دليل بايد نگران انتخاب اعداد مورد نظرمان باشيم!!

درباره‌ي خود «توزيع چي دو» (Chi Squared Distribution) بيش از اين صحبت نمي‌كنيم. تمام چيزي كه مي‌گوييم آن است كه وضعيت مورد نظر به ما مي‌گويد مقدار مشاهده شده‌ي بايد جايي در اطراف 48 باشد. هم‌چنين به ما مي‌گويد شانس ظاهر شدن عدد مورد نظرمان بيش از 69 يا كم‌تر از 9/38 باشد تنها 05/0 يا 5 درصد است. بنابراين بايد مراقب اعداد ظاهر شده در آن محدوده باشيم.

«هيستوگرام» شكل 9 اعداد ظاهر شده از آمار را نشان مي‌دهد كه در آن، قرعه‌ها در گروه‌هاي پنجاه‌تايي جمع شده و بنابراين در هر حالت رابطه‌ي ذيل برقرار است:

(رابطه‌ي 13)

در حالي كه عمليات قرعه‌كشي به سرانجام مي‌رسد همه‌ي مقادير مشاهده شده (ظاهر شده) بين خطوط نقطه‌چين در فواصل 60 و 9/38 قرار مي‌گيرد. بدين‌ترتيب است كه انصافاً بايد مطمئن شويم كه «قرعه‌كشي» حقيقتاً «عملياتي تصادفي» است.

اين دو محقق به‌همراه گروهي ديگر از محققان در حال آماده‌سازي سايتي هستند كه در آن به موضوع: «درك عدم قطعيت» (Understanding Uncertainty) خواهند پرداخت. در اين سايت بنا دارند از «ريسك» (Risk) و «عدم قطعيت» (Uncertainity) سخن به‌ميان آورند. اين سايت بنا به ادعاي‌شان بهار 1387 (2008 ميلادي) افتتاح خواهد شد.

عامه‌ي مردم حتي اگر يك «معيار انتخاب» را براي اين موارد بپذيرند هنوز به «شانس» اعتقاد ندارند.

مثال ذيل مي‌تواند نمونه‌اي از اين امر محسوب شود:

همان‌طور كه در نگاهي مختصر بررسي خواهيم كرد «جدول ليگ» (League Table) در تمام تاريخ قرعه‌كشي‌ها نشان داده است كه برخي اعداد داراي امتياز بيش‌تري براي انتخاب شدن هستند. اين در حالي است كه بعضي از اعداد بعد از چندين دفعه قرعه‌كشي اصلاً انتخاب نمي‌شوند.

آيا تقلبي شده يا دست خدا در كار بوده است؟

لزوماً اين‌گونه نيست؛ در حقيقت قايل شدن به «ارزش از قبل تعيين شده» (Face-Value) در مورد «جدول ليگ» (League Table) كاملاً نادرست است. در اين مورد واقعاً «شانس» در كار است. در اين زنگ تفريح به اين مسأله دقيق‌تر پرداخته مي‌شود.

شش توپ به‌قيد قرعه از ميان مجموعه‌اي از 49 توپ داراي شماره انتخاب مي‌شوند. اگر دانش‌اموزي به‌طور صحيح شش عدد را پيش‌بيني كند در جايزه‌ي درنظر گرفته شده سهيم مي‌شود. انيميشن شكل 3 نشان مي‌دهد چند وقت به چند وقت هر يك از 49 عدد در اولين 1240 مورد قرعه‌كشي ممكن است انتخاب شوند.

اگر اعداد انتخاب شده در اولين قرعه را از سال 1373 (1994 ميلادي) بررسي كنيم متوجه مي‌شويم كه بر روي يك عدد تمركز بيش‌تري وجود داشته است. اگر بر روي كليد «مرتب كردن» كليك كنيد اعداد برحسب «مرتبه» طبقه‌بندي مي‌شوند. كليد «اجراي سريع» براي بالا بردن سرعت عمليات اجرايي است. زماني كه انيميشن پايان مي‌يابد آن‌چه مشاهده مي‌شود اعداد براساس مرتبه‌ي «فركانس» طبقه‌بندي شده‌اند. دانش‌اموزي كه عدد 38 را انتخاب كرده برنده‌ي واقعي است!

با كليك كردن بر «هيستوگرام» مي‌توانيد نموداري ستوني ايجاد مي‌شود كه براي هر مقدار ، تعداد پيشامدهاي واقع شده دقيقاً به‌تعداد  دفعه را نشان مي‌دهد. كليك كردن بر كليد «به‌تصوير كشيدن» (Start Dropping)، نشان مي‌دهد كه چگونه نمودار ستوني مذكور رسم مي‌شود. به‌نظر مي‌رسد اين توزيع كه بعضي از اعداد بيش از ديگران ظاهر مي‌شوند كاملاً شايع باشد.

ياداوري – در حالت «اجراي سريع»، كليد «به‌تصوير كشيدن» (Start Dropping) دردسترس نيست.

مي‌توانيم با نگاه بر «شكاف» (Gap) بين هر دفعه كه يك عدد به‌طور تصادفي انتخاب مي‌شود از زاويه‌ي ديگري به اين بحث بپردازيم. انيميشن شكل 4 مسير هر دفعه‌اي را نشان مي‌دهد كه يك عدد به‌طور تصادفي انتخاب نمي‌شود.

اگر به‌دقت به شروع سال 1379 (2000 ميلادي) توجه داشته باشيد بيش‌ترين «شكاف» (Gap) مشاهده شده را 72 مي‌يابيد كه براي عدد 17 است. اين عدد در قرعه‌ي 435ام در پنجم اسفند 1379 (23 فوريه‌ي 2000 ميلادي) به‌دست آمده است؛ اما دوباره تا قرعه‌ي 508ام در چهاردهم آبان 1379 (چهارم نوامبر 2000 ميلادي) به‌قيد قرعه انتخاب نمي‌شود.

برگشت به محاسبه‌هاي گذشته نشان مي‌دهد چنين «شكافي» (Gap) حقيقتاً به‌ندرت انجام مي‌شود. شانس وقوع يك عدد به‌خصوص در يك تك‌قرعه برابر است و بدين‌معنا است كه احتمال اين‌كه يك عدد انتخاب نشود  است. شانس وقوع رويداد 72 دفعه در يك رديف،  است كه تقريباً  يا  است!

آن‌چه «جداول ليگ» (League Tables) تاكنون به ما نشان داده است (عدد خوشبخت 38 و «شكاف» (Gap) از لحاظ اندازه‌ غيرمحتمل) به‌نظر نمي‌رسد كه به‌خوبي با فرض «صحت تصادفي بودن» تطبيق داشته باشد. اين نقطه‌اي است كه درك آن مشكل بوده و ممكن است دچار باور وقوع فريب در قرعه‌كشي شده يا عواملي آسماني را دخيل بدانيم!!

اما با كمي تفكر رياضي مي‌توان فهميد كه ممكن است به‌طور شانسي چنين چيزي اتفاقد بيافتد بنابراين نفس عميقي كشيده و به‌اصطلاح مدادتان را تيز كنيد!!

ابتدا نياز داريد يك «توزيع نظري از احتمال» (Theoretical Probability Distribution) را بر اين فرض قرار دهيد كه قرعه‌ي موردنظر تصادفي باشد. فرض كنيد  تعداد گوي‌ها در كيف باشد به‌گونه‌اي كه در اين حالت داشته باشيم:

اگر اعداد به‌طور تصادفي انتخاب شده باشند براي هر يك، شانس بيرون آمدن از قرعه  بوده و بنابراين در اين حالت داريم:

بنابراين شانس يك عدد براي عدم انتخاب در قرعه از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 4)

براي بررسي احتمال اين‌كه از  قرعه دقيقاً  دفعه، عددي ويژه به‌طور تصادفي انتخاب شود سه عامل را بايد درنظر بگيريم:

	عامل اول اول آن‌كه آن عدد  دفعه انتخاب شود. در اين حالت، شانس  خواهد بود.
	عامل دوم دوم آن‌كه آن عدد دفعه انتخاب نشود. در اين حالت، شانس  خواهد بود. بنابراين شانس دنباله‌ي ويژه‌ي با  دفعه «انتخاب» و  دفعه «عدم انتخاب» از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد: (رابطه‌ي 5)
	عامل سوم سومين نكته كه بايد ياداوري شود آن است كه تعداد  دنباله‌ي متفاوت از  دفعه انتخاب و  دفعه عدم انتخاب وجود دارد. هر كدام از اين موارد به‌ميزان  در شانس كلي مشاركت مي‌كند. بنابراين اين شانس كه در  قرعه، اعداد مورد نظرمان دقيقاً  دفعه انتخاب شوند از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد: (رابطه‌ي 6)

رابطه‌ي 6 «توزيع دوجمله‌اي» (Binomial Distribution) با متغيرهاي  و  است. اين توزيع داراي «ميانگين» (Mean)  و «واريانس» (Variance)  است. در اين‌جا به مقادير بزرگ علاقه‌مند بوده و براي اين مقادير با تطبيق «ميانگين» و «واريانس»، «توزيع نرمال» (Normal Distribution) تقريباً با «توزيع نرمال نظري» (Theoretical Normal Distribution) نزديك است.

در شكل 5 «توزيع واقعي» اعداد قرعه‌كشي شده با «توزيع نرمال نظري» (Theoretical Normal Distribution) مقايسه شده است. «توزيع واقعي» اعداد قرعه‌كشي شده با رنگ «سفيد» و «توزيع نرمال نظري» با رنگ «خاكستري» نشان داده شده است. «توزيع واقعي» ناهموار ديده مي‌شود ولي «توزيع نظري» به ما اجازه مي‌دهد بررسي كنيم كه آيا عددي كه اولين دفعه قرعه‌كشي مي‌شود در حقيقت به‌طور اعجاب‌انگيزي دور است.

مي‌توانيم «توزيع نظري» «شكاف‌ها» (Gaps) بين اعداد را به روشي مشابه ايجاد كنيم. عدد به‌خصوصي نظير  را درنظر بگيريد. قرعه‌اي را «موفق» بناميد كه عدد انتخاب شود و در غير اين‌صورت «شكست» نام‌گذاري كنيد. همانند قبل، شانس «موفقيت»  خواهد بود.

فرض كنيد  تعداد «شكست‌ها» قبل از اولين «موفقيت» ‌باشد به‌عبارت ديگر «شكاف» (Gap) قبل از  دوباره به‌طور تصاوفي انتخاب شود. شانس  براي انتخاب تصادفي عدد به‌خصوص  همانند شانس مشاهده‌ي سري‌اي از  «شكست» بعد از يك «موفقيت» است؛ بنابراين داريم:

اين همان «توزيع هندسي» (Geometric Distribution) است. به اين معنا كه از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

بنابراين «طول شكاف ميانگين» (Mean Gap Length) حدود 7 است.

ياداوري – «توزيع» (Distribution) گاهي اوقات بدين‌صورت تعريف مي‌شود: «زمان تا اولين موفقيت» كه در اين‌جا به  بستگي دارد.

«هيستوگرام» در شكل 7 توزيع همه‌ي شكاف‌ها را با «توزيع هندسي نظري فراتر» (The Theoretical Geometric Distribution Superimposed) نشان مي‌دهد. شكاف‌ها در پايين و بالاي 40 به‌گونه‌اي تقسيم شده‌اند كه شكاف‌هاي بزرگ به‌طور واضح نشان داده شوند. به‌نظر مي‌رسد «توزيع نظري» بر «توزيع مشاهده شده» تطبيق دارد اگرچه به‌ضرورت، ناهمواري‌هاي كوچكي در دنباله وجود دارد.

آن‌چه بايد پرسيده شود آن است كه: «بعد از 1240 قرعه، شانس اين‌كه هر يك از شكاف‌ها بين دو قرعه از همان عدد بزرگ‌تر از 72 باشد چقدر است؟»

براي اين منظور ابتدا نياز داريم بدانيم كلاً چه تعداد شكاف موجود است. 1240 قرعه وجود داشته است كه هر كدام بيانگر 6 عدد هستند؛ بنابراين در مجموع  عدد قرعه كشيده شده است. هربار يك عدد ظاهر مي‌شود شكافي متناسب با بعد از آن مشاهده مي‌شود كه شامل شكاف اوليه است تا اين‌كه هر عدد براي اولين بار به‌قيد قرعه ظاهر شود.

اكنون سؤال ذيل مطرح مي‌شود: «شانس اين‌كه بزرگ‌ترين 2440 شكاف‌ حداقل 72 باشد چقدر است؟»

مي‌توانيم اين شانس را با استفاده از توزيع‌مان حدس بزنيم:

كه در آن داريم:

	= شانس اين‌كه حداكثر شكاف حداقل 72 باشد
	= شانس اين‌كه حداكثر شكاف كوچك‌تر از 72 باشد
	= شانس اين‌كه همه‌ي شكاف‌ها‌ كوچك‌تر از 72 باشد
	= شانس اين‌كه  كوچك‌تر از 72 باشد.

بخش پاياني رابطه‌ي 9 بدين‌علت برقرار است كه احتمال اين‌كه همه‌ي شكاف‌ها كم‌تر از 72 بوده تقريباً با حاصل‌ضرب 7440 احتمال معادل برابر باشد كم‌تر از 72 است.

ياداوري – نتيجه تنها تقريبي است به‌خاطر اين‌كه وابستگي اندكي بين شكاف‌ها در رابطه با اين امر وجود دارد كه هميشه 6 عدد در هر قرعه موجود باشد. بعداً چگونگي خوب بودن چنين تقريبي را بررسي خواهيم كرد.

بنابراين رابطه‌ي ذيل صادق خواهد بود:

نتيجه نشان مي‌دهد كه يك شكاف حداكثر با طول 72 به‌هيچ وجه غيرمنتظره نخواهد بود. در حقيقت، شانس 50 – 50 مربوط به شكاف با حداقل طول در 1240 قرعه خواهد بود.

براي بررسي صحت اين نتيجه مي‌توانيم از شبيه‌سازي «ساختگي» (Fictional) تاريخچه‌ي قرعه‌كشي بر روي يك كامپيوتر استفاده كنيم. بدين‌ترتيب كه 6 عدد متفاوت را به‌صورت تصادفي از 1 تا 49 انتخاب كنيم؛ سپس اين فرايند را 1240 بار تكرار مي‌نماييم.

نرم‌افزاري كه استفاده مي‌كنيم شامل توليدكننده‌هاي اعداد تصادفي باشد كه بايد ما را متقاعد كند كه هر عدد حقيقتاً داراي شانس مساوي براي انتخاب شدن است. بدين‌ترتيب 1000 مورد تاريخي از قرعه‌كشي شبيه‌سازي شده و متوجه مي‌شويم كه بزرگ‌ترين شكاف در هر مورد شامل 470 مورد (47 درصد) خارج از 1000، 72 يا بيش‌تر است (شكل 8) كه به احتمال نظري تقريبي ما يعني 46/0 (رابطه‌ي 10) شبيه است و نشان‌دهنده‌ي درستي رابطه‌ي 10 است.

«توزيع دوجمله‌اي» (Binomial Distribution) بالا مي‌گويد انتظار داريم بعد از  قرعه هر عدد ويژه‌اي با تعداد دفعه‌هاي ذيل ظاهر شود:

در اين مثال، قرعه‌كشي توسط معلم به  يا تقريباً  بستگي دارد. بنابراين براي مثال بعد از 1240 قرعه انتظار خواهيم داشت هر عدد انتخاب شده حدود  دفعه ظاهر شود. اكنون تعداد كل دفعه‌هايي كه هر عدد بعد از  قرعه ظاهر مي‌شود را به آن بيافزاييد؛ سپس آن را ،  و ... بناميد تا اين‌كه به  برسيد.

براي هر عدد ، عبارت ذيل معياري است براي «عدم هم‌خواني» (Discrepancy) بين آن‌چه مشاهده مي‌شود و آن‌چه انتظار داريم:

اگر مقادير  را براي 49 مقدار  جمع ببنديم معياري كلي براي «عدم هم‌خواني» (Discrepancy) به‌دست خواهد آمد. نتيجه‌ي به‌دست آمده اصطلاحاً «آمار چي دو» (Chi Squared Statics) ناميده و با  نشان داده مي‌شود. براي همانندسازي لازم است «آمار چي دو استاندارد» (Standard Chi Squared Statics) را در مقدار  ضرب كنيم. علت آن است كه همان‌طور كه قبلاً ذكر شد مقادير كلي كاملاً مستقل نيستند. اين شگردها در «نظريه‌ي آمار» (Statistical Theory) انجام مي‌شود كه قصد نداريم وارد اين مبحث شويم.

تنها به‌عنوان اين‌كه حداكثر استفاده را از «توزيع نظري» (Theoretical Distribution) در وقوع هر تعدادي كرده باشيم بسته به اين فرض كه «قرعه‌كشي» تصادفي است ممكن است نهايتاً به توزيع  نياز داشته باشيم كه به آن اصطلاحاً يك «توزيع چي دو استاندارد» (Standard Chi Squared Distribution) در وضعيت  «درجه‌ي آزادي» (Degree of Freedom) اطلاق مي‌شود.

اين به ما مي‌گويد كه شانس ظاهر شدن عدد مورد نظرمان براي  - با اين فرض كه قرعه‌كشي واقعاً تصادفي است يعني همه‌ي توپ‌هايي كه به‌قيد قرعه انتخاب مي‌شوند از لحاظ آماري مستقل هستند - «كم» است مثلاً: 05/0 يا 5 درصد. به اين دليل بايد نگران انتخاب اعداد مورد نظرمان باشيم!!

درباره‌ي خود «توزيع چي دو» (Chi Squared Distribution) بيش از اين صحبت نمي‌كنيم. تمام چيزي كه مي‌گوييم آن است كه وضعيت مورد نظر به ما مي‌گويد مقدار مشاهده شده‌ي بايد جايي در اطراف 48 باشد. هم‌چنين به ما مي‌گويد شانس ظاهر شدن عدد مورد نظرمان بيش از 69 يا كم‌تر از 9/38 باشد تنها 05/0 يا 5 درصد است. بنابراين بايد مراقب اعداد ظاهر شده در آن محدوده باشيم.

«هيستوگرام» شكل 9 اعداد ظاهر شده از آمار را نشان مي‌دهد كه در آن، قرعه‌ها در گروه‌هاي پنجاه‌تايي جمع شده و بنابراين در هر حالت رابطه‌ي ذيل برقرار است:

(رابطه‌ي 13)

در حالي كه عمليات قرعه‌كشي به سرانجام مي‌رسد همه‌ي مقادير مشاهده شده (ظاهر شده) بين خطوط نقطه‌چين در فواصل 60 و 9/38 قرار مي‌گيرد. بدين‌ترتيب است كه انصافاً بايد مطمئن شويم كه «قرعه‌كشي» حقيقتاً «عملياتي تصادفي» است.