قوانين امتيازدهي به بازي‌ها كمي با بازي‌هاي ديگر فرق دارد به‌گونه‌اي كه در هر بازي هر تيم:

براي نشان دادن اين‌كه جواب به‌صورت ذيل است:

(رابطه‌ي 1)

بايد دو چيز را ثابت كنيم:

	- ابتدا بايد ثابت كنيم ممكن است «سپاهان»  امتياز كسب كند در حالي كه مي‌تواند حداكثر  امتياز از ديگر تيم‌ها بيش‌تر داشته باشد.
	- دوم بايد اثبات كنيم اگر «سپاهان» داراي  باشد پس بايد حداقل  امتياز بيش‌ از ديگر تيم‌ها داشته باشد.

بعضي از دانش‌اموزان تلاش مي‌كنند ثابت كنند اگر «سپاهان»  امتياز كسب نمايد پس بايد امتيازهايي بيش از حداقل  امتياز نسبت به ساير تيم‌ها در «بدترين سناريو» كسب كند كه شامل تعدادي از برترين تيم‌ها است كه با يكديگر «مساوي» كرده و همه‌ي «بدترين تيم‌ها» را ببرند.

استدلال‌هايي كه به‌سادگي بر اين سناريو در بدترين حالت قرار داشته باشند به‌اندازه‌ي كافي مستدل نيستند. استدلال‌هايي كه با اين سناريو آغاز مي‌شوند و از اين عقيده استفاده مي‌كنند كه هر امتيازي كه يك تيم كسب مي‌كند منجر به باخت تيم ديگر مي‌شود معمولاً متقاعدكننده نيستتد.

بايد اثبات كنيم «سپاهان» حداقل  امتياز بيش‌تر از ديگر تيم‌ها در همه‌ي سناريوهاي ممكن كسب كرده و ساده‌ترين راه‌حل هماني است كه بنا داريم مطرح كنيم.

تعميمي در قسمت «ب» يافته از آن براي پيدا كردن جواب براي قسمت «الف» استفاده مي‌كنيم. ادعا مي‌نماييم «ساكت» مي‌تواند استنباط كند كه «سپاهان» حداقل بيش از  امتياز نسبت به ساير تيم‌ها  كسب مي‌نمايد.

اگر «سپاهان» امتيازهايي بيش از حداقل مقدار  نسبت به ساير تيم‌ها به‌دست آورد نتيجه مي‌گيريم حداكثر  تيم با احتساب «سپاهان» حضور دارند كه  امتياز يا بيش‌تر كسب مي‌كنند.

كافي است ثابت كنيم غيرممكن است  تيم هركدام  امتياز يا بيش‌تر داشته باشند و اين‌كه ممكن است تيم هريك  امتياز يا بيش‌تر كسب كنند.

اكنون عكس اين امر را فرض مي‌كنيم اين‌كه  تيم هركدام  امتياز يا بيش‌تر كسب كنند. اين  تيم را «تيم‌هاي خوب» ناميده و  تيم ديگر «تيم‌هاي بد» ناميده مي‌شوند. «تيم‌هاي خوب» بايد مجموعاً حداقل امتيازي برابر  كسب كنند.

بين دو «تيم خوب»،  بازي وجود داشته و دو امتياز براي هر بازي دردسترس خواهد بود. در اين بازي‌ها، «تيم‌هاي خوب» مي‌توانند جمع امتيازهاي خود را به امتياز برسانند. بين يك «تيم خوب» و «تيم بد»  بازي وجود دارد كه دومرتبه در هر بازي 2 امتياز قابل‌دسترس است. در اين بازي‌ها «تيم‌هاي خوب» مي‌توانند جمعاً  امتياز كسب كنند. «تيم‌هاي خوب» در بازي‌ها بين دو «تيم بد» نمي‌توانند امتيازي جمع كنند. بنابراين «تيم‌هاي خوب» مي‌توانند جمع امتياز خود را به مقدار ذيل برسانند:

(رابطه‌ي 2)

اين امتياز كم‌تر از مقدار  است.

پس به يك تناقض مي‌رسيم. بنابراين براي  تيم ممكن نيست هريك  امتياز يا بيش‌تر كسب كنند.

در ادامه بايد نشان دهيم ممكن است براي  تيم هريك  امتياز يا بيش‌تر وجود داشته باشد. دوباره اين  تيم را «تيم خوب» ناميده ديگر  تيم را «تيم‌هاي بد» مي‌ناميم. هر «تيم خوب» مي‌تواند  بازي در برابر «تيم‌هاي خوب» و  بازي در برابر «تيم‌هاي بد» داشته باشد.

فرض مي‌كنيم هر بازي بين «تيم‌هاي خوب» منجر به يك «تساوي» شده و هر بازي بين يك «تيم خوب» و يك «تيم بد» منجر به يك «برد» براي «تيم خوب» شود. در اين سناريو همان‌طور كه مورد انتظار است هر «تيم خوب» دقيقاً  امتياز كسب خواهد كرد.

بنابراين جواب دقيقاً از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 3)

با به‌كار بردن تعميم بر روي قسمت «الف» جواب از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 4).

قوانين امتيازدهي به بازي‌ها كمي با بازي‌هاي ديگر فرق دارد به‌گونه‌اي كه در هر بازي هر تيم:

براي نشان دادن اين‌كه جواب به‌صورت ذيل است:

(رابطه‌ي 1)

بايد دو چيز را ثابت كنيم:

	- ابتدا بايد ثابت كنيم ممكن است «سپاهان»  امتياز كسب كند در حالي كه مي‌تواند حداكثر  امتياز از ديگر تيم‌ها بيش‌تر داشته باشد.
	- دوم بايد اثبات كنيم اگر «سپاهان» داراي  باشد پس بايد حداقل  امتياز بيش‌ از ديگر تيم‌ها داشته باشد.

بعضي از دانش‌اموزان تلاش مي‌كنند ثابت كنند اگر «سپاهان»  امتياز كسب نمايد پس بايد امتيازهايي بيش از حداقل  امتياز نسبت به ساير تيم‌ها در «بدترين سناريو» كسب كند كه شامل تعدادي از برترين تيم‌ها است كه با يكديگر «مساوي» كرده و همه‌ي «بدترين تيم‌ها» را ببرند.

استدلال‌هايي كه به‌سادگي بر اين سناريو در بدترين حالت قرار داشته باشند به‌اندازه‌ي كافي مستدل نيستند. استدلال‌هايي كه با اين سناريو آغاز مي‌شوند و از اين عقيده استفاده مي‌كنند كه هر امتيازي كه يك تيم كسب مي‌كند منجر به باخت تيم ديگر مي‌شود معمولاً متقاعدكننده نيستتد.

بايد اثبات كنيم «سپاهان» حداقل  امتياز بيش‌تر از ديگر تيم‌ها در همه‌ي سناريوهاي ممكن كسب كرده و ساده‌ترين راه‌حل هماني است كه بنا داريم مطرح كنيم.

تعميمي در قسمت «ب» يافته از آن براي پيدا كردن جواب براي قسمت «الف» استفاده مي‌كنيم. ادعا مي‌نماييم «ساكت» مي‌تواند استنباط كند كه «سپاهان» حداقل بيش از  امتياز نسبت به ساير تيم‌ها  كسب مي‌نمايد.

اگر «سپاهان» امتيازهايي بيش از حداقل مقدار  نسبت به ساير تيم‌ها به‌دست آورد نتيجه مي‌گيريم حداكثر  تيم با احتساب «سپاهان» حضور دارند كه  امتياز يا بيش‌تر كسب مي‌كنند.

كافي است ثابت كنيم غيرممكن است  تيم هركدام  امتياز يا بيش‌تر داشته باشند و اين‌كه ممكن است تيم هريك  امتياز يا بيش‌تر كسب كنند.

اكنون عكس اين امر را فرض مي‌كنيم اين‌كه  تيم هركدام  امتياز يا بيش‌تر كسب كنند. اين  تيم را «تيم‌هاي خوب» ناميده و  تيم ديگر «تيم‌هاي بد» ناميده مي‌شوند. «تيم‌هاي خوب» بايد مجموعاً حداقل امتيازي برابر  كسب كنند.

بين دو «تيم خوب»،  بازي وجود داشته و دو امتياز براي هر بازي دردسترس خواهد بود. در اين بازي‌ها، «تيم‌هاي خوب» مي‌توانند جمع امتيازهاي خود را به امتياز برسانند. بين يك «تيم خوب» و «تيم بد»  بازي وجود دارد كه دومرتبه در هر بازي 2 امتياز قابل‌دسترس است. در اين بازي‌ها «تيم‌هاي خوب» مي‌توانند جمعاً  امتياز كسب كنند. «تيم‌هاي خوب» در بازي‌ها بين دو «تيم بد» نمي‌توانند امتيازي جمع كنند. بنابراين «تيم‌هاي خوب» مي‌توانند جمع امتياز خود را به مقدار ذيل برسانند:

(رابطه‌ي 2)

اين امتياز كم‌تر از مقدار  است.

پس به يك تناقض مي‌رسيم. بنابراين براي  تيم ممكن نيست هريك  امتياز يا بيش‌تر كسب كنند.

در ادامه بايد نشان دهيم ممكن است براي  تيم هريك  امتياز يا بيش‌تر وجود داشته باشد. دوباره اين  تيم را «تيم خوب» ناميده ديگر  تيم را «تيم‌هاي بد» مي‌ناميم. هر «تيم خوب» مي‌تواند  بازي در برابر «تيم‌هاي خوب» و  بازي در برابر «تيم‌هاي بد» داشته باشد.

فرض مي‌كنيم هر بازي بين «تيم‌هاي خوب» منجر به يك «تساوي» شده و هر بازي بين يك «تيم خوب» و يك «تيم بد» منجر به يك «برد» براي «تيم خوب» شود. در اين سناريو همان‌طور كه مورد انتظار است هر «تيم خوب» دقيقاً  امتياز كسب خواهد كرد.

بنابراين جواب دقيقاً از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 3)

با به‌كار بردن تعميم بر روي قسمت «الف» جواب از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 4).