.png)
روش مختلف براي انتخاب چهار نقطه به‌عنوان رؤوس يك چهارضلعي وجود دارد. اما به هر حال، از اين تعداد بايد تعداد راه‌هايي را كم كنيم كه در آن سه نقطه بر روي يك خط راست قرار مي‌گيرند.
هشت راه براي انتخاب سه نقطه وجود دارد به‌گونه‌اي كه همه‌ي آن‌ها در راستاي يك خط قرار گرفته است؛ براي همه‌ي آن‌ها شش راه براي انتخاب چهارمين نقطه وجود دارد به‌طوري كه تعداد راه‌ها براي انتخاب چهار نقطه به‌نحوي باشد كه بتوانند يك چهارضلعي تشكيل داده دقيقاً داراي چهار ضلع مجزا باشد از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطه‌ي 1)
بعضي از آن مجموعه‌هاي چهار نقطه‌اي دقيقاً يك چهارضلعي تشكيل مي‌دهند نظير موارد ذيل:
در حالي كه ديگران نظير موارد ذيل يك سه‌ضلعي ايجاد مي‌كند:
در غير اين‌صورت چهار نقطه يك چهارضلعي تشكيل مي‌دهند.
دقيقاً هشت مجموعه از نقاط وجود دارد به‌گونه‌اي كه يكي از مجموعه‌ها داخل مثلث با سه مجموعه‌ي ديگر تشكيل مي‌شود:
ديگر 70 مجموعه‌ي ممكن از نقاط يك چهارضلعي تشكيل خواهند داد. بنابراين جواب اين سؤال از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:
94 چهارضلعي اين‌چنيني وجود دارد. چهارضلعي‌ها را با تقسيم‌بندي‌اي نظير ذيل شمارش خواهيم كرد:
مجموعاً 10 مستطيل وجود دارد: | - يك مستطيل با ابعاد .png) و يك مستطيل با ابعاد .png) |
| - چهار مستطيل با ابعاد .png) |
| - چهار مستطيل با ابعاد .png) |
| ب – متوازي‌الاضلاع (شامل مستطيل نمي‌شود) |
دو نوع «متوازي‌الاضلاع» با اضلاع غيرعمود بر هم وجود خواهد داشت (شكل 3)..gif)
|
شكل 3. |
چهار متوازي‌الاضلاع از نوع اول در شكل 3 (سمت چپ) وجود دارد؛ بنابراين زوج اضلاع افقي حاضر ممكن است هر يك از زوج اضلاع مقابل در سمت چپ و راست شكل 3 باشد.
هشت متوازي‌الاضلاع از نوع دوم در شكل 3 (سمت راست) وجود دارد؛ بنابراين براي هريك از چهار مستطيل دو متوازي‌الاضلاعي اين‌گونه وجود خواهد داشت.
در تمام حالت‌ها دوازده متوازي‌الاضلاع غيرمستطيل موجود خواهد بود.
.gif) |
شكل 4. |
16 ذوزنقه از نوع اول در شكل 4 (سمت چپ) وجود دارد به‌خاطر اين‌كه هريك از چهار مستطيل شامل چهار نوع از چنين ذوزنقه‌هايي مي‌شود زيرا هريك با برش يك گوشه تشكيل شده و چهار گوشه نيز وجود دارد.
8 ذوزنقه از نوع دوم وجود دارد به‌خاطر اين‌كه هريك از چهار گوشه‌ي چنين آرايه‌اي از نقاط مي‌تواند ضلعي باشد كه در حال حاضر در پايين قرار دارد و براي هريك از چهار موقعيت، دو قاعده‌ي بزرگ‌تر مي‌تواند از دو قاعده‌ي ديگر به‌دست آيد.
چهار ذوزنقه از نوع سوم در شكل 4 وجود دارد به‌خاطر اين‌كه دو ضلع غيرموازي آن (زماني كه امتداد مي‌يابند) مي‌تواند در هريك از چهار گوشه‌ي آرايه‌ي نقاط مذكور تلاقي پيدا كنند.
مجموعاً 28 ذوزنقه وجود دارد.
.gif) |
شكل 5. |
تنها يك شكل «كايت» به‌وجود خواهد آمد. چهار «كايت» از اين نوع وجود خواهد داشت به‌خاطر اين‌كه رأس با زاويه‌ي قايمه مي‌تواند از هريك از چهار گوشه‌ي آرايه‌ي نقاط مذكور انتخاب شود. .gif) |
شكل 6. |
دو نوع ديگر از اشكال محدب بدون اضلاع موازي وجود دارد (شكل 6). براي نوع اول از شكل 6 هريك از چهار ضلع آرايه‌ي نقاط مي‌تواند به‌عنوان ضلع با طول 2 و از آن‌جا هريك اضلاع مجاور با ضلع برابر 1 مي‌تواند انتخاب شود. بنابراين 8 نوع از اين اشكال وجود خواهد داشت.براي نوع دوم از شكل 6 هريك از 8 پاره‌خط كناري آرايه‌ي نقاط با طول 1 مي‌تواند انتخاب شود؛ از آن‌جا بقيه‌ي شكل تعيين مي‌گردد. بنابراين 8 عدد از اين اشكال وجود خواهد داشت. در تمام حالت‌ها، 16 عدد از چنين اشكالي وجود خواهد داشت.
.gif)
|
شكل 7. |
چهار نوع از اشكال «مقعر» وجود دارد. چهار نوع اول از شكل 7 (سمت چپ) وجود دارد بنابراين هريك از گوشه‌هاي چنين آرايه‌اي از نقاط در حال حاضر مي‌تواند به‌عنوان رأس گوشه‌ي پاييني و سمت چپ انتخاب شود. هشت نوع از شكل دوم وجود دارد بنابراين علاوه بر چهار حالت براي رأس واقع در گوشه هم‌چنين دو حالت براي آن ضلعي وجود خواهد داشت كه دهانه‌ي زاويه‌ي منفرجه به‌سمت آن است.
هشت شكل از نوع سوم از شكل 7 وجود خواهد داشت؛ بنابراين چهار موقعيت براي ضلع با طول 2 وجود دارد كه مي‌تواند در هريك از چهار ضلع آرايه‌ي نقاط قرار گيرد.
هم‌چنين دو حالت براي اين‌كه زاويه‌ي منفرجه به‌سمت آن باز شود وجود دارد.
چهار حالت از شكل نوع اخير (نوع سوم از شكل 7) وجود دارد بنابراين دهانه‌ي زاويه‌ي منفرجه مي‌تواند به‌سمت هريك از چهار كناره‌ي آرايه‌ي نقاط باز شود. در تمام حالت‌ها 24 شكل مقعر وجود خواهد داشت (شكل 8).
.gif) |
شكل 8. |
در شكل 8 تمام حالت‌هاي ممكن از اشكال مقعر را مشاهده خواهيد كرد. در تمام حالت‌ها تعداد چهارضلعي‌ها از رابطه‌ي ذيل محاسبه خواهد شد:
(رابطه‌ي 2)براي بررسي اين امر كه تمام اشكال دقيقاً يك‌بار شمارش مي‌شوند موارد ذيل را در نظر مي‌گيريم. روش براي انتخاب چهار نقطه از ميان 9 نقطه وجود دارد. از همه‌ي تركيب‌ها از چهار نقطه تنها مواردي كه تشكيل چهارضلعي نمي‌دهند عبارت‌اند از حالت‌هايي كه سه‌نقطه در راستاي يك خط باشند. سه نقطه در صورتي مي‌توانند در راستاي يك خط باشند كه بر روي هشت خط گذرنده از سه نقطه قرار داشته باشند (شكل 9).
.gif)
|
شكل 9. |
چهارمين نقطه مي‌تواند از هريك از 6 نقطه‌ي ديگري انتخاب شود كه بر روي آن خط قرار ندارند. بنابراين 48 تركيب از 4 نقطه وجود دارد كه نمي‌تواند تشكيل چهارضلعي دهند لذا تعداد تركيب‌ها از 4 نقطه كه تشكيل چهارضلعي مي‌دهند از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطه‌ي 3)با فرض چهار نقطه غيرواقع بر يك خط دقيقاً يك شكل مقعر مي‌تواند رسم شود. بنابراين 70 تركيب از چهار نقطه براي 70 چهارضلعي مقعر خواهيم داشت. اما به هر حال، اين امر براي اشكال مقعر صادق نيست؛ بيش از يك شكل مقعر در ارتباط با چهار نقطه قابل ترسيم است.
هريك از 8 تركيب باقي‌مانده مي‌تواند در ارتباط با سه چهارضلعي متفاوت تشكيل شود (شكل 10). بنابراين 24 چهارضلعي مقعر وجود خواهد داشت. در تمام حالت‌ها تعداد چهارضلعي‌هايي كه با شمارش قبلي‌مان تطبيق دارد از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطه‌ي 4)
.gif) |
شكل 10. |