زماني كه دومين سوييچ به وضعيت 2 تغيير مي‌يابد چراغ راهنمايي «زرد» باقي مي‌ماند! رنگ چراغ راهنمايي تنها به موقعيت سوييچ اول بستگي دارد.
ممكن است از يك گراف داراي 27 رأس با برچسب‌هاي الف ب ج استفاده شود:
هريك از موقعيت‌هاي .gif)
، .gif)
و .gif)
نمايانگر «صفر»، «يك» يا «دو» هستند كه در آن ، و به‌ترتيب موقعيت‌هاي اولين، دومين و سومين محسوب مي‌شوند. دو رأس چنين گرافي زماني با يك يال به يكديگر متصل مي‌شوند كه عدد مربوط به تمام برچسب‌هاي آن‌ها در همه‌ي سه جزو متفاوت باشند. استفاده از «گراف‌ها» باعث مي‌شود بعضي روابط ساده‌تر شوند اما براي ساده‌سازي جواب اين مسأله به‌نظر مي‌رسد نبايد از اين روش استفاده شود.
در جدول 1 فهرستي از 27 حالت وجود دارد كه از علامت .gif)
در ستون‌هايي از هر رنگ استفاده مي‌شود كه با قاعده‌ي «ب» حذف شده است.
ابتدا با .gif)
(به‌عنوان وضعيت اوليه) شروع مي‌كنيم كه در آن همه‌ي سه سوييچ در موقعيت «صفر» هستند ... هم‌چنين .gif)
در ستون «قرمز» و عدد با يك .gif)
در ستون «زرد» وجود دارد.
با اعمال قاعده‌ي 2، هر وضعيتي با ارقام غيرصفر در همه‌ي سه حالت باعث اعمال علامت در ستون «قرمز» مي‌شود. اين موارد به رنگ «قرمز» نمي‌تواند مرتبط باشد.
به‌طور مشابه حالت‌هايي با عدد 1 در اولين محل و ارقام غيرصفر در دو دو محل ديگر باعث اعمال علامت در ستون «زرد» مي‌شود (جدول 1).
|
جدول 1 – حالت اوليه. |
|
قرمز |
زرد |
سبز |
|
قرمز |
زرد |
سبز |
|
قرمز |
زرد |
سبز |
|
000 |
قرمز |
|
|
100 |
|
|
|
200 |
|
|
|
|
001 |
|
|
|
101 |
|
|
|
201 |
|
|
|
|
002 |
|
|
|
102 |
|
|
|
202 |
|
|
|
|
010 |
|
|
|
110 |
|
|
|
210 |
|
|
|
|
011 |
|
|
|
111 |
|
|
|
211 |
|
|
سبز |
|
012 |
|
|
|
112 |
|
|
|
212 |
|
|
سبز |
|
020 |
|
|
|
120 |
|
|
|
220 |
|
|
|
|
021 |
|
|
|
121 |
|
|
|
221 |
|
|
سبز |
|
022 |
|
|
|
122 |
|
|
|
222 |
|
|
سبز |
از آن‌جايي كه .gif)
، .gif)
، .gif)
و .gif)
ممكن نيست «زرد» باشند در اين حالت‌ها چراغ راهنمايي «سبز» خواهد بود. بنابراين باعث اعمال علامت .gif)
در ستون «سبز» مي‌شود.
بنابراين اكنون داراي چهار حالت سبز .gif)
خواهيم بود؛ هريك از اين حالت‌ها به ما اجازه مي‌دهند نتيجه بگيريم كه بسياري از حالت‌ها به‌نام‌هاي .gif)
و .gif)
نمي‌تواند «سبز» باشد كه در آن جمع‌ها به‌پيمانه‌ي 3 تنزل يافته‌اند.
در حقيقت اين‌ها همه‌ي حالت‌هايي هستند كه با «صفر» يا «يك» آغاز مي‌شوند. نتيجه مي‌گيريم كه هر حالتي كه با «صفر» يا «يك» آغاز مي‌شوند نمي‌توانند «سبز» باشند (جدول 2).
|
جدول 2. |
| |
قرمز |
زرد |
سبز |
|
قرمز |
زرد |
سبز |
|
قرمز |
زرد |
سبز |
|
000 |
قرمز |
|
|
100 |
|
زرد |
|
200 |
|
|
|
|
001 |
|
|
|
101 |
|
|
|
201 |
|
|
|
|
002 |
|
|
|
102 |
|
|
|
202 |
|
|
|
|
010 |
|
|
|
110 |
|
|
|
210 |
|
|
|
|
011 |
قرمز |
|
|
111 |
|
زرد |
|
211 |
|
|
سبز |
|
012 |
قرمز |
|
|
112 |
|
زرد |
|
212 |
|
|
سبز |
|
020 |
|
|
|
120 |
|
|
|
220 |
|
|
|
|
021 |
قرمز |
|
|
121 |
|
زرد |
|
221 |
|
|
سبز |
|
022 |
قرمز |
|
|
122 |
|
زرد |
|
222 |
|
|
سبز |
اين امر به ما اجازه مي‌دهد .gif)
، .gif)
، .gif)
و .gif)
بايد نشان‌دهنده‌ي چراغ راهنمايي در وضعيت «قرمز» بوده و .gif)
، .gif)
، .gif)
و .gif)
بيانگر وضعيت «زرد» باشند.
اطلاعات جديدمان به ما اجازه مي‌دهد نتيجه بگيريم هر سه‌تايي‌اي كه با 1 يا 2 آغاز مي‌شود نمي‌تواند «قرمز» باشد؛ علت آن است كه .gif)
، .gif)
و بيانگر از در همه‌ي سه موقعيت متفاوت است؛ اين در حالي است كه و در همه‌ي موقعيت‌هاي سه‌گانه از متفاوت است. به‌همان ترتيب با .gif)
، .gif)
، .gif)
، .gif)
و .gif)
تفاوت دارند.
به‌طور مشابه هر سه‌تايي‌اي كه با يك «صفر» يا «دو» آغاز مي‌شود نمي‌تواند «زرد» باشد.
اين امر منتهي به نتيجه‌ي ذيل مي‌شود:
- «اگر اولين سوييچ در موقعيت «صفر» باشد چراغ راهنمايي «قرمز» خواهد بود. اگر اولين سوييچ در موقعيت «يك» باشد چراغ راهنمايي «زرد» و اگر اولين سوييچ در موقعيت «دو» باشد چراغ راهنمايي «سبز» خواهد بود».
به‌ويژه زماني كه سوييچ دوم از حالت به موقعيت 2 تغيير يابد چراغ راهنمايي «زرد» باقي خواهد ماند.
بايد توجه داشت كه تقارني وجود دارد كه به ما اجازه مي‌دهد نتيجه‌ي معمول‌تري به‌دست آوريم. آن‌چه واقعاً نشان داده‌ايم آن است كه به‌محض اطلاع از دو حالتي كه به رنگ‌هاي متفاوتي بستگي دارد اين حالت‌ها در موقعيت يك سوييچ با يكديگر تفاوت دارند در حالي كه مطابق با دو موقعيت ديگر هستند پس مي‌دانيم كه وضعيت سوييچ متفاوت به‌تنهايي كنترل‌كننده‌ي رنگ‌ها خواهد بود.
به‌عنوان مثال
در حالي كه مي‌دانيم هر دو حالت و با رنگ «سبز» تطبيق دارد. بنابراين به اطلاعات بيش‌تري نياز خواهيم داشت. به‌علاوه اين‌كه گفته شود «سبز» است در حالي كه .gif)
«زرد» مي‌باشد كافي نخواهد بود.
اين امر به هر عدد از سوييچ سه‌موقعيتي اجازه مي دهد رنگ‌هاي «قرمز»، «زرد» و «سبز» چراغ راهنمايي را كنترل كند. گفته مي‌شود تنها زماني كه موقعيت‌هاي سوييچ‌ها تغيير مي‌كند رنگ چراغ راهنمايي دستخوش تغيير خواهد شد.
بنابراين در واقع مي‌توان ثابت كرد عامل كنترل‌كننده در رنگ چراغ راهنمايي تنها مربوط به يكي از سوييچ‌ها است. ظاهراً اين مسأله يكي از مسائل با ريشه‌ي نامعلوم در مجارستان در دهه‌ي 1350 (1970 ميلادي) بوده است.