مشاهده‌ی شماره 74
انتگرال از جمله مفاهیمی در ریاضیات است که سرچشمه و تکامل آن، به صورتی جدی، به مسایل کاربردی بستگی دارد. این مفهوم و روش‌هایی که براساس آن ساخته شده‌اند، در گوناگون‌ترین شاخه‌های علمی و عملی فعالیت‌های انسانی، مثل فیزیک، شیمی، زیست شناسی، اقتصاد، رشته‌های فنی و غیره کاربرد دارد. کاربردهای گسترده‌ای از این مفهوم، در برنامه‌ی درسی پیش‌دانشگاهی رشته‌ی ریاضی- فیزیک دبیرستان و به صورتی محدودتر در رشته‌ی تجربی گنجانده شده‌است و زیر عنوان‌های انتگرال‌گیری و یا محاسبه‌ی تابع‌های اولیه، دانش‌آموزان را به ریاضیات و جنبه‌های کاربردی آن علاقه‌مند می‌کند و بر شکل‌گیری درک آن‌ها از جهان امروز و نقش ریاضیات در آن، تاثیری مثبت می‌گذارد.
با وجود این، تجربه و عمل نشان داده است که، در اغلب موارد، تنها به کاربرد هندسی این مفهوم توجه می‌شود و دربارهی کاربرد انتگرال در فیزیک، شیمی و شاخه‌های فنی، تقریبا صحبتی به میان نمی‌آید. درس آنالیز ریاضی در کتاب‌های درسی، طرح تابع اولیه و انتگرال در آن‌ها و مجموعه‌ی مساله‌های مربوط به آن، گواه بر این امر است، و این، موجب می‌شود که دانش‌آموز، دچار این تصور نادرست باشد که، گویا، انتگرال‌گیری تنها با محاسبه‌ی مساحت‌ها و حجم‌ها، بستگی دارد و در دانش‌های دیگر، نقشی به عهده نمی‌گیرد.
در این مقاله، سعی شده است با طرح مساله‌های تکمیلی در زمینه‌ی کاربرد انتگرال در هندسه، فیزیک و شاخه‌های فنی این کمبود، دست کم تا حدی، جبران شود. و همچنین این مساله‌ها، با مساله‌هایی که در کتاب درسی یا کتاب‌های کمک درسی مطرح شده است، متفاوت باشند و موجب بازتر شدن دید خواننده نسبت به مفهوم انتگرال شوند.
|
1. یک تکیه‌گاه داسی شکل از ورقه‌ی آهن مسطح 10 میلی‌متری تهیه شده است. وزن این تکیه‌گاه را پیدا کنید، به شرطی که محیط بیرونی و درونی آن روی منحنی‌های سهمی باشند (شکل 1).
|
راهنمایی: وزن پایه طبق دستور m=ρSd محاسبه می‌شود که، در آن، ρ وزن مخصوص فلز (ρ=7.8×103 Kg/m3 )،ا S سطح مقطع پایه و d ضخامت آن است (d=0.01 m). محورهای قائم مختصات را در نظر بگیرید و معادله‌ی دوره‌های بالایی و پائینی پایه را به‌دست آورید:
شکل 1
و سپس، مساحت شکل بین دو منحنی را پیدا کنید.
پاسخ:
m = 7.8 × 103 × 8 × 10-2 = 624
|
2. تعداد نوعی حشره، با سرعت (v = v(T واحد در سال رشد می‌کند. تعداد این حشره در 5 سال، چقدر زیاد می‌شود؟
|
راهنمایی: اگر T∆ به قدر کافی کوچک باشد، سرعت رشد در بازه‌ی [T,T+∆T] اختلاف ناچیزی با (v(T دارد. بنابراین ∆N ≈ v(T) × ∆T ، یعنی (N'(T) = vd(T و در نتیجه:
پاسخ:
|
3. مطلوب است نیروی فشار وارد بر سدی که به شکل مثلثی متساوی الساقین با قاعده‌ی a متر و ارتفاع h است.
|
پاسخ: در هیدروستاتیک، برای محاسبه‌ی فشار مایع (برحسب نیوتن) بر یک قطعه سطح افقی، از دستور P=0.907 ρSx استفاده می‌کنند که، در آن، مساحت قطعه سطح (به متر مربع)، x ارتفاع مایع روی قطعه سطح (به متر)، 907/0 شتاب سقوط آزاد (بر حسب متر بر مجذور ثانیه) و ρ چگالی مایع (برحسب کیلوگرم بر متر مکعب) است، در ضمن در مساله‌ی ما ρ=1000 است.
در حالتی که قطعه سطح افقی نباشد، فشار مایع وارد بر آن در عمق‌های مختلف، متفاوت است و، بنابراین، نیروی فشار P بر قطعه سطح تابعی از عمق x آب است. سد را به تقریب در دستگاه محورهای مختصات قائم در نظر می‌گیریم (شکل 2) و قطعه‌ی EKMT را که در عمق از x تا x+∆x آب قرار دارد، جدا می‌کنیم. اگر∆x را به قدر کافی کوچک بگیریم، آن وقت عمق هر نقطه‌ی این قطعه، اختلاف ناچیزی با x دارد و مساحت ∆S این قطعه، تقریبا برابر با مساحت مستطیل EKK1E1، یعنی ∆S≈f(x)×∆x می‌شود که، در آن، (f(x طول قاعده‌ی EK از این مستطیل است.
شکل 2
در این جا f(x)=(a(h-x))/h (چرا؟). نمو ∆P نیروی فشار، ضمن عبور از x به x+∆x، عبارت است از نیروی فشاری که بر قطعه‌ی EKMT عمل می‌کند و، بنابراین، می‌توان نوشت:
∆P≈9.807ρ.∆S.x ≈ 9.807ρ.f(x).∆x.x
از آن جا ∆P/∆x ≈ 9.807ρf(x).x ، اگر، به ازای ∆x→0 ، به حد عبور کنیم، به دست می‌آید: P'(x) = 9.807ρf(x) و در نتیجه خواهیم داشت:
غلامرضا پورقلی
دانشجوی دکتری ریاضی
دانشگاه تهران