مفاهیم کلیدی: دایره، محیط، قطر، فرمول ریاضی، عدد پی
مشاهده علمی ۱۶۶
مقدمه:
ریاضی‌دانان با کشف روابط ریاضی به هیجان می‌آیند. آنها جهان اطراف خود را به صورت عدد، فرمول و معادله می‌بینند. ریاضیات می‌تواند سرگرم‌کننده و عملی نیز باشد. می‌توانید با استفاده از ریاضی محاسبه کنید که برای خرید یک اسباب بازی جدید چه مدت باید پول جمع کنید. همچنین می‌توانید از ریاضی برای دو یا سه برابر کردن دستور غذا یا برای محاسبه‌ی زمان رسیدن به مدرسه یا خانه بهره ببرید.
همچنین می‌توانید با ریاضی ابعاد و اندازه‌ی اجسام را محاسبه کنید. در این فعالیت علمی شما اشیای دایره‌ای را بررسی خواهید کرد تا بتوانید روابطی در مورد ابعاد آنها پیدا کنید. در این آزمایش بررسی می‌کنید که آیا محیط دایره رابطه‌ای خاص با قطر آن دارد یا خیر. با انجام این بررسی‌ها احتمالاً از نتایجی که به دست می‌آورید شگفت زده خواهید شد!
پیش‌زمینه:
آیا می‌دانید هزاران سال است که مردم مشغول مطالعه‌ی علم ریاضی هستند؟ بسیاری از اصطلاحات ریاضی که امروزه استفاده می‌کنیم ریشه در زبان یونانی یا لاتین دارند که نشان می‌دهد دانشمندان باستانی روی مسائل ریاضی کار می‌کرده‌اند. به عنوان مثال کلمه‌ی محیط (Circumference) متشکل از دو کلمه‌ی لاتین Circum به معنای اطراف و ferre به معنای حمل است که هم می‌تواند خط مرز دایره تعبیر شود و هم طول این خط.
کلمه‌ی قطر (diameter) مشتقی از کلمات یونانی dia به معنای عرض و metron به معنای اندازه است. منظور از این کلمه خطی مستقیم است که از نقطه‌ای روی محیط دایره شروع می‌شود، از مرکز دایره می‌گذرد و در نقطه‌ای مقابل روی محیط دایره به پایان می‌رسد. همچنین این کلمه می‌تواند به طول این خط نیز اشاره داشته باشد. ریاضی‌دانان اثبات کرده‌اند که قطر طولانی‌ترین فاصله در یک دایره است. اکنون با مفاهیم پایه‌ای در مورد دایره آشنا شدیم و زمان انجام آزمایش فرا رسیده است.
مواد و وسایل مورد نیاز:
حداقل چهار جسم دایره‌ای در اندازه‌های مختلف (مثلاً می‌توانید از یک سکه‌ی بزرگ، در گرد ظرف، چرخ دوچرخه و ... استفاده کنید.)
نخ یا روبان طولانی که بتوانید آن را به تکه‌های کوچک ببرید.
قیچی (در هنگام استفاده از آن باید از یک بزرگتر کمک بگیرید.)
نوار چسب (اختیاری)
آماده‌سازی:
تمام اشیای مورد نظر خود را در یک منطقه جمع کنید تا در دسترس باشند.
کار خود را با دایره‌ای در اندازه‌ی متوسط مانند در ظرف ماست شروع کنید. در چند مرحله‌ی بعد شما تکه‌هایی از نخ یا روبان با طولی برابر با محیط و قطر این دایره خواهید برید. پس از آماده کردن این تکه‌ها می‌توانید بررسی کنید که آیا ارتباطی خاص میان این اندازه‌ها وجود دارد یا نه. شما این مراحل را برای دایره‌هایی با اندازه‌های مختلف انجام خواهید داد و سعی خواهید کرد رابطه‌ای میان قطر و محیط در تمام آنها کشف کنید.
روش کار:
برای تهیه‌ی یک نخ به طول محیط (خط مرز دایره) اولین جسم دایره‌ای خود، انتهای نخ را با انگشت شست در نقطه‌ای روی محیط دایره نگه دارید.
نخ را یک مرتبه دور جسم بپیچید و انتهای آن را دقیقاً در محل تماس با ابتدای نخ ببرید. برای آسان‌تر شدن کار می‌توانید ابتدای نخ را با چسب به طور موقت به جسم دایره‌ای بچسبانید و نخ را دور جسم بچرخانید و انتهای آن را ببرید. آیا متوجه می‌شوید که طول این نخ دقیقاً برابر با محیط جسم دایره‌ای است؟
برای اندازه‌گیری قطر، شما نیاز به طول خط مستقیمی دارید که از نقطه‌ای روی محیط دایره شروع می‌شود، از مرکز دایره می‌گذرد و در نقطه‌ای در طرف دیگر روی محیط دایره به اتمام می‌رسد. از آنجا که پیدا کردن مرکز یک جسم دایره‌ای دشوار است، شما از این نکته‌ی ریاضی در مورد دایره استفاده خواهید کرد: قطر دایره طولانی‌ترین فاصله‌ی موجود در یک دایره است. برای ایجاد یک تکه نخ با طولانی‌ترین طول در دایره، با انگشت شست خود سر یک نخ جدید را در نقطه‌ای روی محیط دایره‌ی متوسط نگه دارید. ادامه‌ی نخ را به صورت خطی مستقیم روی دایره درآورید که تا نقطه‌ای دیگر روی محیط ادامه داشته باشد. حال انتهای نخ که آزاد است را روی محیط دایره به چپ یا راست حرکت دهید. این کار را آنقدر ادامه دهید تا بلندترین خط مستقیم توسط نخ بین دو نقطه از محیط دایره ایجاد شود. اگر نخ را از این موقعیت به چپ یا راست تکان دهید طول خط مستقیم کوتاه‌تر می‌شود. نخ را در حالتی که تشکیل بلندترین خط مستقیم را داده است ببرید. این نخ طول قطر دایره را نشان می‌دهد. آیا مشاهده می‌کنید که این نخ از مرکز دایره می‌گذرد؟
حال همه چیز برای انجام بررسی آماده است. کدام فاصله طولانی‌تر است، قطر یا محیط؟ تفاوت طول این دو چقدر است؟
اگر تکه نخ بلندتر را از وسط تا کنید، آیا طول آن با طول نخ کوتاه‌تر برابر می‌شود؟ اگر اینطور باشد پس نخ بلندتر دو برابر نخ کوتاه‌تر طول دارد. اگر با یک بار تا کردن نخ بلندتر از وسط، طول آن با طول نخ کوتاه‌تر برابر نمی‌شود، تا کردن نخ برای بار دوم، سوم و بیشتر را امتحان کنید. آیا حالتی وجود دارد که دو نخ به طور تقریبی یا دقیق بر هم منطبق شوند؟ رابطه‌ی میان این دو نخ را چگونه با کلماتی از جمله دو برابر یا سه برابر بلندتر توصیف می‌کنید؟
همین مراحل را از ابتدا در مورد یک جسم دایره‌ای با اندازه‌ی متفاوت انجام دهید. فکر می‌کنید رابطه‌ای که در مورد جسم اول بین محیط و قطر به دست آورده‌اید برای دایره‌های دیگر در اندازه‌های متفاوت نیز صدق می‌کند؟
باید رابطه‌ی میان محیط و قطر را در دایره‌هایی با اندازه‌های کوچک، متوسط، بزرگ و بسیار بزرگ بررسی کنید. آیا می‌توانید رابطه‌ای یکسان بین محیط و قطر در تمام دایره‌ها بیابید؟ این رابطه دقیق است یا تقریبی؟ اگر به رابطه‌ای خاص دست یافته‌اید، فکر می‌کنید برای تمام دایره‌ها صدق می‌کند؟
آزمایش‌های تکمیلی:
در خانه اجسام دایره‌ای دیگری پیدا کنید و تخمینی از محیط و قطر آنها بزنید. تخمین محیط این دایره‌ها آسان‌تر است یا تخمین قطرشان؟ اندازه‌گیری کدام با خط‌کش آسان‌تر است، قطر یا محیط؟
اگر به رابطه‌ای تقریبی میان قطر و محیط دایره رسیده‌اید، فکر می‌کنید چگونه می‌توان آن را دقیق‌تر کرد؟ راهنمایی: می‌توانید طول تکه‌های نخ را با خط‌کش به طور دقیق اندازه بگیرید و سپس روی این اعداد بررسی را انجام دهید. (برای مثال محیط هر دایره را بر قطر آن تقسیم کنید.
آیا در مورد تمام دایره‌ها با هر اندازه‌ای به عددی خاص می‌رسید؟)
یک کاربرد این اصل در دنیای واقعی محاسبه‌ی مسافت طی شده توسط چرخ‌هایی با ابعاد مختلف است. به منظور بررسی رابطه‌ی میان مسافت طی شده روی زمین و اندازه‌ی چرخ، نقطه‌ای را روی محیط چرخ (مثلاً چرخ دوچرخه) با چسب علامت بزنید. این نقطه از چرخ را روی زمینقرار دهید و محل تماس آن با زمین را با گچ مشخص کنید. حال چرخ را در خطی مستقیم به سمت جلو بچرخانید تا مجدداً نقطه‌ای که روی چرخ علامت زده‌اید به زمین برسد. این نقطه را روی زمین با گچ مشخص کنید. اکنون فاصله‌ی میان این دو نقطه روی زمین را با قطر و محیط چرخ مقایسه کنید. آیا رابطه‌ای میان این اعداد مشاهده می‌کنید؟
اکنون که رابطه‌ی میان قطر و محیط را می‌دانید، آیا می‌توانید مثال‌هایی از کاربرد این رابطه بزنید؟
مشاهده و نتیجه‌گیری:
اگر این فعالیت را با دقت انجام داده باشید، احتمالاً به این نتیجه رسیده‌اید که محیط کمی بیشتر از سه برابر قطر دایره است و این رابطه وابسته به ابعاد دایره نیست. اگر دقت کارتان بالا باشد به این نتیجه می‌رسید که محیط دقیقاً سه برابر قطر دایره نیست. بلکه این عدد چیزی در حدود سه و یک‌هفتم برابر است. جالب اینکه این عدد نیز کاملاً دقیق نیست. ریاضی‌دانان کشف کرده‌اند که نسبت محیط به قطر دایره مقداری ثابت است که در تمام دایره‌ها صرف نظر از اندازه‌شان یکسان است. با این وجود آنها همچنین کشف کردند که این عدد هیچ گاه به طور دقیق قابل تعیین نیست. از اواسط قرن نوزده میلادی به این نسبت عدد پی گفته می‌شود که عددی بسیار جالب توجه است. این عدد نه تنها در هندسه، بلکه در سایر حوزه‌های ریاضی مانند نظریه‌ی احتمال دیده می‌شود. عدد پی در جهان طبیعی نیز کاربرد دارد، برای مثال به منظور توصیف موج‌هایی مانند موج دریا و امواج نامرئی نور و صدا.
منبع:
Finding Pi
منابع مفید:
رمزگشایی و ریاضی
ریاضی و هنر
سرگرمی‌هایی در ریاضی
چند مساله ساده از ریاضیات کاربردی
عدد شگفت انگیز پی- بخش اول
عدد شگفت انگیز پی - بخش دوم
استفاده از عدد پی در ساخت تخت جمشید
احتمال و عدد پی
خمیر بازی و ریاضیات
عدد پی-ویکیپدیا
Prehistoric calculus: Discovering Pi