«کمیتهی جوایز ریاضیات» انجمن ریاضیات امریکا بهاتفاق تصمیم گرفتند که جایزهی «بنیاد وولف» (Wolf Foundation) را بهطور مشترک به دو دانشمند از امریکا و آلمان اهدا کنند. بهگزارش سایت خبری «انجمن ریاضیات امریکا» (American Mathematical Society)، «استفان ج. اسمیل» (Stephen J. Smale) از دانشگاه «کالیفورنیا» در «برکلی» امریکا و «هری فوراشتاینبرگ» (Harry Furstenberg) دانشمند آلمانی دانشگاه «هبریو» (Hebrew) بهترتیب بهخاطر فعالیتهایشان در حوزههای ذیل موفق بهدریافت این جوایز شدند: - مشارکتهایی گرهگشا که دارای نقشی اساسی در شکل دادن «توپولوژی دیفرانسیلی»، «سیستمهای دینامیکی»، «اقتصاد ریاضی» و موضوعهای دیگر در ریاضیات است. - مشارکتهای عمیق در «نظریهی ارگودیک» (Ergodic Theory)، «دینامیک توپولوژی»، «آنالیز فضاهای متقارن» و «جریانهای همگن» (Homogeneous Flows).
بنابراین گزارش، پروفسور «استفان ج. اسمیل» (Stephen J. Smale) بهطور گسترده در پایان دههی 1950 و ابتدای دههی 1960 میلادی در توسعهی «توپولوژی دیفرانسیلی» (Differential Topology) – پروژهای متعلق به دوران جوانیاش – مشارکت داشت. نتایج تحقیقات این دانشمنمد در زمینهی «غوطهوری اجسام کروی» (Immersions of Spheres) در فضاهای اقلیدسی، ریاضیدانان را مسحور کرده است. «فیلمها» و «عکسها»یی گواه بر فعالیتهایش اصطلاح «واژگونی کرهها» (Eversion of the Sphere) گرفته است.
استدلال این ریاضیدان دربارهی «انگارهی پوانکاره» (Poincare Conjecture) با ابعادی بزرگتر یا معادل 5، یکی از موفقیتهای بزرگ وی در قرن بیستم محسوب میشود. شاید اثبات نظریهی وی با عنوان «کوبوردیسم اچ» (H- Cobordism Theorem) یکی از ابزار بنیادی در هندسهی دیفرانسیلی باشد. «اسمیل» (Smale) در طی دههی 1960 میلادی، چشمانداز جهان از سیستمهای دینامیکی را متحول کرد. نظریهی وی در زمینهی «سیستمهای هیپربولیک» (Hyperbolic) یکی از پیشرفتهای بنیادین در ریاضیات پس از «انگارهی پوانکاره» محسوب میشود. از کارهای بنیادی در ریاضیات میتوان از بهاصطلاح «نظریهی اسمیل، چائو» (Chaos-Smale) نام برد که آن هم از کارهای وی بهحساب میآید. در ابتدای دههی 1960 میلادی، مشارکتهای «اسمیل» بهطور هیجاناوری تحقیقات را در «توپولوژی» و «آنالیز منیفلدهای بینهایت بعدی» (Infinite- Dimentional Manifolds) دچار تحول کرد. این امر در طی تفسیر در ابعاد نامحدود نظریههای ذیل محقق شده است: - «نقطهی بحرانی مورس» (Morse's Critical Point) که امروزه «نظریهی اسمیل، پالاییس» (Palais- Smale) نامیده میشود - «نظریهی سارد» (Sard's Theorem) توجه «اسمیل» در دههی 1970 میلادی بهسمت «مکانیک» و «اقتصاد» جلب شد که در آن عقایدش را در زمینهی «توپولوژی» و «دینامیک» بهکار برد. بهعنوان مثال، تفسیر وی از «پتانسیل اصلاحی» (Amended Potential) نقشی اساسی در توسعهی حاضر در ثبات و طبقهبندی «تعادلهای نسبی» (Relative Equilibria) دارد. «اسمیل» در اقتصاد، «نظریههای محض و کاربردی در بهینهسازی توابع چندگانه» (Abstract Theory of Optimization) را بهکار برده آن را توسعه داد تا شرایطی را برای رسیدن به اهداف ذیل فراهم کند: - ایجاد «وضعیتهای بهینهی پارتو» (Pareto Optima) - توصیف این مجموعه از «وضعیتهای بهینه» بهعنوان اشکال فرعی متعدد «وضعیتهای دیفئومورفیک» (Diffeomorphic) از مجموعه «وضعیتهای بهینهی پارتو» (Pareto Optima) وی همچنین «تعادل عمومی» (General Equilibria) را تحت فرضیات خیلی ضعیف ثابت کرده و در توسعهی الگوریتمها برای محاسبات چنین تعادلهایی مشارکت نمود. این آخرین فعالیتهایی بود که «اسمیل» در اوایل دههی 1980 میلادی - بهعنوان طولانیترین بخش دورهی شغلیاش – انجام داد و آن عبارت بود از: «محاسبات» و «ریاضیات محاسباتی». در مقابل طی مسیر تحقیقات بر روی محاسبات علمی – که بر روی راهحلهای سریع برای مسائل گسسته متمرکز میشود - «اسمیل» نظریهی ترکیبیات و محاسبات پیوسته را - هماهنگ با آنچه که دانشمندان کامپیوتر برای محاسبات گسسته توسعه دادهاند - توسعه داده و الگوریتمهایی را برای تعدادی از مسائل مشخص، طراحی و تجزیه و تحلیل کرد. بعضی از این تجزیه و تحلیلها جایگزین مدلهایی برای استفاده از «ریاضیات پیشرفته» (Deep Mathematics) در مطالعهی الگوریتمهای عددی شده است. پروفسور «هری فوراشتنبرگ» (Harry Furstenberg) یکی از دانشمندان بزرگ در «نظریهی احتمالات»، «نظریهی ارگودیک» و «دینامیک توپولوژیکی» محسوب میشود. از جمله فعالیتهای وی میتوان به موارد ذیل اشاره کرد: - کاربرد عقاید نظریهی ارگودیک در نظریهی اعداد - ترکیبیات - کاربرد عقاید احتمالات در نظریهی «گروههای لی» (Lie Group) و زیرگروههای گسستهی آن این دانشمند در نظریهی احتمالات، پیشگام محصولات مطالعات «ماتریسهای تصادفی» (Random Matrices) بوده و نشان داد که رفتار حدی آنها بهمعنی «قضیهی ساختاری عمیق» (Deep Structure Theoreme) در «گروههای لی» (Lie Group) است. این نتایج تأثیری اساسی بر همهی کارهای بعدی در این حوزه داشته شاخهای مهم نهتنها در احتمالات بلکه همچنین در «فیزیک آماری» (Statistical Physics) و دیگر حوزهها ایجاد کرده است. در دینامیک توپولوژیکی، برهان «فوراشتنبرگ» (Furstenberg) از نظریهی ساختاری برای «جریانهای دوربورد حداقلی (مینیمال)» (Minimal Distal Flows)، اساساً روشهای جدیدی را بنا نهاده و این حوزه را دچار تحول کرد. نظریهی وی – که «جریان هوروسایکل» (HoroCycle Flow) بر سطوح با انحنای منفی و ثابت در حوزهی ارگودیک منحصر به فرد است- بخش مهمی از «نظریهی دینامیکی رفتارهای گروهی لی» (Dynamical Theory of Lie Group Actions) را تشکیل داده است. وی در تحقیقاتش در زمینهی «فرایندهای احتمالاتی» (Stochastic Processes) در فضاهای همگن، روشهای ایستایی را معرفی کرد که تحقیق بر روی آن، او را به تعریف آنچه هدایت کرد که امروزه «کرانهی فوراشتنبرگ یک گروه» (Furstenberg Boundary of a Group) نامیده میشود. تجزیه و تحلیل وی از «رفتار اسمپتوتیک» (Asymptotic Behavior) دربارهی قدمزدن بر گروهها، تأثیری ماندنی بر کارهای بعدی در این حوزه شامل: موارد ذیل داشته است: - مطالعهی «شبکهها» (زیرمجموعهای از اعداد مختلط که مؤلفههای حقیقی و موهومی صحیح داشته باشند) در «گروههای لی» (Lie Groups) - «چرخههای مشترک از رفتارهای گروهی» (Co- Cycles of Group Actions). |