یک چندضلعی را سنگ‌فرش یا موزائیک می‌گوئیم وقتی که بتوان صفحه را با کنار هم قرار دادن آنها فرش کرد، بدون این که شکافی وجود داشته باشد و یا قطعه‌های سنگ‌فرش بر هم سوار شده باشند. پاپوس اسکندرانی درباره‌ی چنان شکل‌های هندسی مطالعه کرده است که می‌توانستند، احتمالا، جانشین شش‌ضلعی‌های کندوی عسل شوند. در این مقاله فرض بر این است که زنبورهای عسل با هنر و دوراندیشی هندسی خود، به این ساختمان منتظم رسیده‌اند و بر این پایه، امکان‌های مشابهی را ارائه خواهیم داد که زنبورهای عسل، قبل از انتخاب شش‌ضلعی‌های منتظم، به‌عنوان مقطع عرضی ساختمان کندوی خود، از آنها صرف‍نظر کرده‌اند.
 

- سنگ‌فرش با چندضلعی‌های منتظم

همان‌طور که پایوس گفته است، تنها سه نوع چندضلعی منتظم وجود دارد که می‌توان برای فرش کردن صفحه به کار گرفته شوند، این سه نوع چندضلعی منتظم، عبارتند از مثلث متساوی الاضلاع، مربع و شش‌ضلعی منتظم. البته باید توجه داشت که در اینجا صحبت بر سر فرش کردن صفحه با اشکال منتظم قابل انطباق است. یعنی همه‌ی چندضلعی‌ها، یک شکل و برابرند، درک این مطلب نیز آسان است که صفحه را می‌توان با مثلث متساوی‌الاضلاع هم‌نهشت و یا مربع‌های هم‌نهشت، هم‌فرش کرد.

این که چندضلعی منتظم دیگری وجود ندارد که بتوان به‌کمک آن، صفحه را پوشاند به‌سادگی و با توجه به زوایای داخلی آنها ثابت می‌شود.  رئوس n-ضلعی منتظم را P₁, P₂, …, P_n می‌نامیم. ضلع P₁P₂ را از طرف P₂، ضلع P₂P₃  را از طرف P₃ و ضلع P₁P_n را از طرف P₁ اندکی امتداد می‌دهیم. n زاویه‌ی خارجی n ضلعی به‎دست می‎آید. اگر اندازه‎ی یکی از زوایای داخلی را ϴ بگیریم، اندازه‌ی هر یک از زوایای خارجی برابر180-ϴ  درجه می‌شود. مجموع n زاویه‌ی خارجی برابر است با 360 درجه، بنابراین:

n (180-ϴ) = 360      ⇒      ϴ=180^° - 360/n                         (1)

اگر از n-ضلعی‌های منتظم هم‌نهشت، برای فرش کردن صفحه استفاده شود، باید در هر راس، زاویه‌ها دقیقا با هم جفت شوند، به‌نحوی که در آنجا، هیچ شکافی وجود نداشته باشد. اگر در یک راس فرش K مرتبه از اضلاع یک n‌-ضلعی استفاده شده باشد، آن وقت باید داشته باشیم Kϴ = 360^°. اگر به جای ϴ دو برابر  Kϴ = 360^°، مقدار آن را از برابری (1) قرار دهیم، به‌دست می‌آید:

K (180 - 360/n) = 360   ⇒  K (1 - 2/n) = 2

این برابری را می‌توان به‌صورت مختلف نوشت، از جمله

K (n-2) = 2n, (K-2) (n-2) = 4

روشن است که باید 4 بر n-2 بخش‌پذیر باشد. از طرفی 4 تنها بر 1, 2, 4 بخش‌پذیر است پس تنها می‌توانیم داشته باشیم:

n-2 = 1 یا 2 و یا 4 است. که به‌دست می‌آید:
n=3 یا  4 یا 6 است.

به این ترتیب حکم مطلوب به‌دست می‌آید.

بنابراین برای ساختن کندوی عسل، زنبورها تنها می‌توانند از مثلث‌های متساوی‌الاضلاع، مربع‌ها و یا شش‌ضلعی‌های منتظم استفاده کنند. از میان این سه شکل، شش‌ضلعی منتظم بزرگ‌ترین نسبت هم‌پیرامونی را دارد، یعنی شش‌ضلعی‌های منتظم، بهترین نامزد از بین چند‌ضلعی‌های منتظم هستند.

ادامه دارد....