مسابقه‌ی شماره ۲۰۵
کلاس درس ریاضی آقای احمدی ۳۳ دانش‌آموز دارد. در روز اول کلاس، آقای احمدی از هر یک از دانش‌آموزها تعداد هم‌کلاسی‌هایی را که نام و تعداد هم‌کلاسی‌هایی که نام خانوادگی مشابهی با او را دارند می‌پرسد. در آخر آقای احمدی می‌گوید: «همه‌ی عددهای ۰ تا ۱۰ در پاسخ‌های شما مشاهده میشود.»
آقای احمدی به فکر فرو می‌رود...
پس از چند دقیقه سکوت، آقای احمدی می‌گوید: «در این کلاس دو دانش‌آموز وجود دارند که نام و نام خانوادگی مشابهی دارند.»
آقای احمدی چگونه متوجه این موضوع شده است؟
به‌ازای هر نام (یا فامیل) همهٔ دانش‌آموزانی که این نام یا فامیل را دارند را در یک گروه قرار می‌دهیم. (واضح است که هر دانش‌آموز متعلق به دو گروه است.) بنا بر فرض، اندازهٔ گروه‌ها همهٔ عددهای ۱ تا ۱۱ را شامل میشود. اما جمع این عددها برابر است با ۶۶=۲*۳۳، بنابراین گروه‌هایمان دقیقا ۱۱ گروه با اندازه‌های ۱ تا ۱۱ هستند. فرض کنید گروه با اندازهٔ ۱۱ شامل ۱۱ دانش‌آموز با نام مشترک باشد. پس حداکثر ۱۰ نام فامیل متفاوت بین دانش‌آموزان وجود دارد و بنابراین دو دانش‌آموز از این گروه ۱۱ نفری نام فامیل مشترکی نیز دارند.