معلم يكي از مدارس نجف‌آباد اصفهان پس از طي يك دوره‌ي طولاني‌مدت آموزشي تصميم مي‌گيرد دانش‌اموزان يكي از دوره‌هاي آموزش المپياد كامپيوتر را به اردوگاه زيباي نور در شهر نشتارود ببرد. وي بازي‌اي با عنوان «پرنده، پروانه، پروانه» در اردوگاه ترتيب مي‌دهد. بازي به صورت ذيل اجرا مي‌شود: تمام دانش‌اموزان در يك دايره حلقه مي‌زنند و معلم داخل دايره قدم مي‌زند. از هر دانش‌اموز كه عبور مي‌كند با ضربه‌اي كوچك وي را با «پرنده» يا «پروانه» صدا مي‌زند: هر دانش‌اموزي كه «پروانه» نام بگيرد از دايره به‌سرعت خارج مي‌شود. معلم از اولين دانش‌اموز آغاز كرده و به‌ترتيب آنان را اين‌گونه صدا مي‌زند: «پرنده»، «پروانه»، «پروانه»، «پرنده»، «پروانه»، «پروانه» و ... و بدين‌ترتيب معلم دايره را دور مي‌زند تا آن‌كه تنها يك دانش‌اموز باقي بماند. اين دانش‌اموز «برنده» محسوب مي‌شود. ياداوري - ممكن است معلم بعضي از دانش‌اموزان را كه قبلاً «پرنده» صدا زده در مرتبه‌ي بعد «پروانه» بنامد. به‌عنوان مثال: اگر 7 دانش‌اموز در اردو حضور داشته باشند بازي اين‌گونه ادامه مي‌يابد:
| - دانش‌اموز شماره‌ي 1 – پرنده | | - دانش‌اموز شماره‌ي 2 – پروانه | | - دانش‌اموز شماره‌ي 3 – پروانه | | - دانش‌اموز شماره‌ي 4 – پرنده | | - دانش‌اموز شماره‌ي 5 – پروانه | | - دانش‌اموز شماره‌ي 6 – پروانه | | - دانش‌اموز شماره‌ي 7 – پرنده | | - دانش‌اموز شماره‌ي 1 – پروانه | | - دانش‌اموز شماره‌ي 4 – پروانه | | - دانش‌اموز شماره‌ي 7 – پرنده. |
بنابراين دانش‌اموز شماره‌ي 7 «برنده» خواهد بود. با استدلال همه‌ي مقادير  را بيابيد كه در آن: .gif) به‌گونه‌اي كه اگر دايره با دانش‌اموز آغاز شود امين دانش‌اموز «برنده» باشد. |