آیا با اعداد مثلثی آشنایی دارید؟

به شکل های زیر دقت کنید:

شکل اول ( از سمت چپ ) از 1 مهره ، شکل دوم از 3 مهره ، شکل سوم از 6 مهره ، شکل چهارم از 10 مهره و شکل پنجم از 15 مهره تشکیل شده اند.

به اعداد 1، 3، 6، 10، 15، 21، 28، 36، 45، 55، ... در اصطلاح اعداد مثلثي گويند. به سادگی می توانید متوجه شوید که این اعداد حاصل مجموع های زیر است:

T₁ = 1

T₂ = 1 + 2 = 3

T₃ = 1 + 2 + 3 = 6

T₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

.

.

.

T_n = 1 + 2 + 3 + … + n

حال مشابه عملي كه در زنگ تفريح 19 انجام داديم را در مورد اعداد مثلثي به كار مي‌بريم. براي اين منظور دنباله‌ي اعداد طبيعي را در نظر گرفته و اعداد مثلثي را از آن حذف مي‌كنيم. دنباله‌ي جديد را {a_n} مي‌ناميم. دنباله‌ي {b_n} را به صورت زير مي‌سازيم:

b₀= 0 , b_n = b_n-1+ a_n

خواهيم داشت :

{a_n} = 2 4 5 7 8 9 11 12 13 14 . . .

{b_n} = 2 6 11 18 26 35 46 58 71 85 . . .

از دنباله‌ي {b_n} عناصر b₁ و b₃ ( يعني اولين عنصر و سومين عنصر دنباله ) را حذف كرده و دنباله‌ي جديد را {a_n} مي‌ناميم. حال دوباره دنباله‌ي {b_n} را به كمك دنباله‌ي {a_n} جديد مي سازيم و اين كار را همين‌طور تكرار مي‌كنيم:

6 18 26 46 58 71 . . .

6 24 50 96 154 225 . . .

24 96 154 . . .

24 120 274 . . .

120 . . .

حال به عناصر اول دنباله‌هاي {a_n} يا {b_n} دقت كنيد:

2, 6, 24, 120,

اگر اعداد به نظرتان آشنا مي‌رسند تعجب نكنيد!‌ اينها به ترتيب عبارتند از:

2! , 3! , 4! , 5! , … , n! , … = 1×2 , 1×2×3 , 1×2×3×4 , 1×2×3×4×5 , … , 1×2× … × n