طنابي بر روي دو سطح شيبدار كه با سطح افقي زاويه‌اي نظير  مي‌سازند مطابق شكل 1 قرار گرفته است. طناب داراي جرم يكنواخت بوده و ضريب اصطكاك آن برابر 1 است. فرض كنيد سيستم داراي تقارن راست به چپ است.

به‌نظر شما چه نسبتي از طناب با سطوح شيبدار در تماس نيست؟ اين نسبت در چه مقدار از زاويه‌ي  حداكثر است؟

شكل 1

جرم طناب را  و نسبتي از آن را كه در هوا معلق قرار دارد در نظر مي‌گيريم. اكنون به نيمه‌ي سمت راستي سيستم نگاهي مي‌كنيم. وزن طناب از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 1)

براي اين‌كه طناب بر روي سطح شيبدار ثابت باقي بماند بايد وزن طناب با مؤلفه‌ي عمودي تنش (نيروي كششي) در نقطه‌اي كه آن بخش از طناب در تماس با سطح قرار دارد برابر باشد. مؤلفه‌ي عمودي تنش (نيروي كششي) طناب در نقطه‌ي تماس با سطح  از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 2)

اكنون بخشي از طناب را در نظر بگيريد كه در سطح شيبدار سمت راست قرار دارد. جرم اين بخش از طناب از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 3)

نيروي عمودي وارد شده از طرف سطح شيبدار از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 4)

بنابراين از آن‌جايي كه ضريب اصطكاك برابر 1 است ، حداكثر نيروي اصطكاك از رابطه‌ي ذيل حاصل مي‌شود:

نيروي اصطكاك بايد با جمع مؤلفه‌هاي نيروهاي جاذبه‌ي طناب در امتداد سطح يعني:‌ به‌علاوه‌ي تنش (نيروي كششي) طناب در قسمت پاييني آن (كه در بالا توضيح داديم) برابر باشند.

بنابراين داريم:

با حل رابطه‌ي فوق داريم:

(رابطه‌ي 7)

كه در آن  از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

رابطه‌ي 7 نشان مي‌دهد يك تابع «اكيداً صعودي»‌ از  است (مي‌توانيد اين موضوع را بررسي كنيد). بنابراين حداكثر ميزان زماني حاصل مي‌شود كه تا آن‌جا كه ممكن است بزرگ باشد.

با استفاده از رابطه‌هاي مثلثاتي مربوط به خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 9)

حداكثر مقدار  از برابر صفر قرار دادن مشتق رابطه‌ي 9 به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 10)

بنابراين داريم:

(رابطه‌ي 11)

بنابراين حداكثر مقدار  از رابطه‌‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 12)

با جايگذاري رابطه‌ي 12 در رابطه‌ي 7 خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 13)