ترموديناميک، دماي سطحي سيارات...سؤال همراه با جواب
سؤال
فرض کنيد سياره‌ي با جرم M و شعاع r با اتمسفري احاطه شده که چگالي آن ثابت بوده و گازي با جرم مولي µ دارد. اگر ارتفاع جو h باشد، (h<< r) دماي سطحي سياره برا بدست آوريد.
جواب
ابتدا شتاب سقوط آزاد (gpl) روي سطح سياره را تعيين مي‌کنيم. از يک طرف مي‌دانيم که نيروي جاذبه بين يک جرم و سياره برابر mgpl است. از طرف ديگر قانون گرانش بيان مي‌کند که اين نيرو برابر همان رابطه‌ي معروف عکس مجذوري نيوتن است، که G ثابت گرانش است. بنابراين در مي‌يابيم که gpl=GM/r2 فشار P ناشي از ستوني از جو با ارتفاع h روي سطح سياره برابر است با:
P= ρgplh
(۱)
که چگالي جو است. براي تعيين فشار يک ستون هوا فرض مي‌کنيم که شتاب سقوط آزاد مستقل از ارتفاع است. اين فرض خوبي است، چون بنابر فرض اوليه، ارتفاع جو خيلي کمتر از r شعاع سياره است. (h<
با استفاده از معادله‌ي حالت براي يک گاز ايده‌آل با جرم M حجم V را اشغال کرده است:
ρ=M/V , PV=(M/µ)RT
در مي‌يابيم:
ρ=Pµ/RT
(۲)
با جايگذاري عبارت ρ در معادله‌ي(۱) و حذف P، دماي جو روي سطح سياره را به‌دست مي‌آوريم:
T=µgplh/R=µGMh/Rr2