آيا چهارتايي‌اي مي‌توان يافت كه حاصلضرب هر دو عدد آن مربع كامل عددي به‌علاوه‌ي يك باشد؟ ... سؤال همراه با جواب
سه‌تايي 
از اعداد صحيح را در نظر بگيريد. در هر حالت، عددي كه يك واحد كم‌تر از حاصلضرب دو تا از اين عددها باشد مربع كامل است:
با وجود اين، ثابت كنيد كه اگر عدد طبيعي جديدي چون .png)
به اين سه‌تايي اضافه كنيم ديگر چنين چيزي درست نيست. به‌عبارت ديگر به‌ازاي هر عدد طبيعي مانند: ، عددهايي كه يك واحد كم‌تر از حاصلضرب دو تا از عددهاي چهارتايي .png)
هستند همگي مربع كامل نيستند.
چون به‌ازاي هر انتخابي به‌جاي .png)
و .png)
از سه‌تايي اوليه‌ي .png)
و .png)
مربع كامل است. فقط بايد ثابت كنيم به‌ازاي هر ، يكي از عبارت‌هاي ذيل مربع كامل نيست:
رده‌ي مانده‌ي به‌پيمانه‌ي 4 را در نظر مي‌گيريم. توجه مي‌كنيم كه هر مربع كامل به‌پيمانه‌ي 4 همواره با يكي از دو عدد 0 و 1 همنهشت است زيرا:
و در نتيجه مجموع دو مربع كامل هيچ‌گاه به‌پيمانه‌ي 4 همنهشت 3 نمي‌شود.چند حالت وجود دارد:
| حالت يكم - 2 يا .png)
در اين حالت .png) ، و .png) مربع كامل نيست.
|
| حالت دوم - .png)
به‌طور مشابه نتيجه مي‌شود: .png) و .png) مربع كامل نيست.
|
| حالت سوم - .png)
در اين حالت به‌ازاي عدد درستي مانند .png) ، .png) ، و در نتيجه داريم:
|
حال فرض مي‌كنيم هر سه عدد ، و .png)
مربع كامل باشند و مي‌كوشيم به‌تناقض برسيم.
اگر .png)
مربع كامل باشد، به‌دليل اين‌كه ضريب 4 مربع كامل است بايد عامل .png)
نيز مربع كامل باشد.
به‌همين ترتيب عامل .png)
نيز در عدد بايد مربع كامل باشد. بنابراين هر يك از عددهاي .png)
، و .png)
بايد مربع كامل باشد.
از اين رو اگر فرض كنيم:
معلوم مي‌شود كه:
اينك همان‌طور كه در بالا گفتيم:
| - (به‌پيمانه‌ي 4) 1 يا .png) |
| - و (به پيمانه 4) 0 يا .png) |
از آن‌جا كه هيچ‌گاه .png)
به‌پيمانه‌ي 4 همنهشت 3 نمي‌شود نتيجه مي‌گيريم:
| (به‌پيمانه‌ي 4) | .png) |
از آن‌جا كه هر يك از دو عدد .png)
به‌پيمانه‌ي 4 يا همنهشت 0 است يا همنهشت 1، همنهشتي بالا زماني درست است كه داشته باشيم:
| (به‌پيمانه‌ي 4) | .png) |
به‌عبارت ديگر .png)
بايد عددي زوج باشد ولي روشن است كه چنين نيست زيرا: .png)
.