شگفتانه‌هایی در حساب

من رشته‌ام را واقعا دوست دارم
سیلوستر (ریاضی‌دان)

مقدمه
در این نوشتار نکاتی کوچک البته بسیار جالب را بررسی می‌کنیم. تمام نتایج اثبات‌هایی منطقی و زیبا دارند. ما از ارائه اثبات خودداری کرده و آن‌ها را به عنوان تمرین به خواننده‌ی علاقه‌مند واگذار می‌کنیم. منابعی معرفی خواهیم کرد که در آن ها در صورت نیاز اثبات‌ها را می‌توان به تفصیل یافت.

1. تعمیم لیوویل

می‌دانیم که به ازای همه‌ی اعداد صحیح و مثبت n،

ژوزف لیوویل (1809-1882) ریاضی‌دان فرانسوی روشی شگفت‌انگیز برای تولید مجموعه‌های دیگری از اعداد صحیح مثبت که دارای همین ویژگی هستند- یعنی مکعبات آن ها برابر مربع مجموع آن‌ها‌ست- کشف کرد.

نخست یک عدد صحیح مثبت  N، مثلا، 6 را در نظر بگیرید. سپس مقسوم‌علیه‌های N را تعیین کنید. به ازای N=6 مقسوم‌علیه‌ها عبارت‌اند از (1, 2, 3, 6) و بالاخره، تعداد مقسوم‌علیه‌های این مقسوم‌علیه‌ها- در این مورد، (1, 2, 2, 4)- را مشخص کنید. [مثلا مقسوم‌علیه‌های 2، 1و 2 هستند یعنی دو تا]. به این ترتیب، مجموعه‌ای از اعداد داریم که ویژگی مطلوب را دارند.

2. عدد 6174

عدد 6174 را در نظر بگیرید و ارقام آن را چنان جابه‌جا کنید که بزرگ‌ترین عدد ممکن از آن‌ها ساخته شود. یعنی آن‌ها را به‌ترتیب نزولی قرار دهید. همچنین ارقام این عدد را طوری جابه‌جا کنید که کوچک‌ترین عدد ممکن از آن ها تشکیل شود و عدد اخیر را از عدد اول کم کنید. بنابراین خواهید داشت:

که همان عددی است که با آن شروع کردیم.
حال همین روش را در مورد 4959 اجرا کنیم. داریم:

ظاهرا در این مورد چیز خاصی در بر ندارد. مع هذا، اگر این روش را در مورد نتایج متوالی که بدست ما آیند اعمال کنیم، خواهیم داشت.

واقعیت این است که با هر عدد چهار رقمی این کار را شروع می‌کنیم، به شرط این که ارقام عدد، همگی برابر نباشند. این روش عدد 6174 را حداکثر 7 مرحله به‌دست خواهد داد.

3. مشاهده پروفسور دوتچی

 در دهه ی 1930 پروفسور دوتچی (Ducci)، اهل ایتالیا، نتیجه زیر را به دست آورد.
چهار عدد صحیح نا‌‌منفی دلخواه، مثلا 25، 17، 55 و 47 را به ترتیبی روی دایره‌ای بنویسید. سپس از هر دو عدد مجاور، عدد کوچک‌تر را از عدد بزرگ‌تر کم کنیم و چهار عدد حاصل، چهارتایی دوری را روی دایره بزرگ‌تر که دایره اول درون آن واقع است، قرار دهید. اگر این کار را ادامه دهید و چهارتایی های دوری، بعدی را به‌دست آورید، سرانجام چهار عدد برابر به‌دست خواهد آمد. [با ترسیم شکل و انجام عملیات می‌توان بهتر متوجه نکات شد.]

4. مجموع مربعات ارقام یک عدد

   عدد صحیح مثبت دلخواهی مانند 9246 را در نظر بگیرید و مجموع مربعات ارقامش را تعیین کنید (137 = 36+16+4+81). مجموع مربعات ارقام این عدد را نیز معلوم کنید (در مورد 137 داریم: 59 = 49+9+1) و این کار را در مورد نتایج متوالی تکرار کنید تا دنباله ای از اعداد صحیح به دست آید. در مثال ما، این دنباله چنین است:

صرف نظر از این که چه عددی را در آغاز انتخاب کنیم، دنباله ی حاصل یا به عدد 1 می‎رسد (که پس از آن عدد 1 به وضوح بی نهایت بار ادامه می یابد) و یا به عدد 4 می‌رسد (که بعد از آن دور 20 و42 ،145 ،89 ،58 ،37 ،16 ،4 بی نهایت بار تکرار می شود).

5. غربال ساندارام

بسیاری از خوانندگان احتمالا با «غربال اراتستن» که برای غربال کردن اعداد اول به کار می‌رود آشنا هستند. در سال 1934 دانشجوی جوانی به نام ساندارام (Sundaram) از اهالی شرق هند غربال زیر را منتشر کرد.

در جدول زیر، سطر اول از جملات تصاعد عددی 4, 7, 10, … تشکیل شده که جمله‌ی اول 4 و تفاضل هر دو جمله‌ی متوالی 3 است. همین تصاعد ستون اول را هم تشکیل می‌دهد. به همین ترتیب سطرهای متوالی تکمیل می‌شوند به طوری که هر یک، تصاعدی عددی هستند و تفاضل‌های مشترک در سطرهای متوالی، اعداد صحیح فرد 3, 5, 7, 9, 11, … هستند.

ویژگی جالب جدول فوق این است: اگر N عدد در جدول ظاهر شود، 2N+1 عدد اول نیست، اگر N درجدول ظاهر نشود 2N+1 اول است.

خواننده ی علاقه مند می تواند به منبع زیر مراجعه کنید:

H. Steinhaus, 100 problems in Elementary Mathematics, Basic Book, 1964, New York.