اعتبار رياضيدان مشهور «اقليدس» (Euclid) به‌خاطر آن است كه اولين فردي بوده است كه فرضيه‌ي هندسه‌ي جهاني كه در آن زندگي مي‌كنيم را توصيف كرده يعني قواعد هندسي اطراف ما را بيان نموده است. بر اين اساس، قضايايي را اثبات كرد كه بعضي از آن‌ها جزو اولين كاربرد اثبات در تاريخ رياضي بوده است. رساله‌ي مشهور «اقليدس» (Euclid) با بيش‌ترين احتمال خلاصه‌اي از آن‌چيزي درباره‌ي «هندسه» بوده است كه در آن زمان شناخته شده بود. در اين رساله، «اقليدس» (Euclid) به ذكر جزويات پنج «اصل موضوعه‌ي» (Postulate) هندسي پرداخت. يكي از اين اصول موضوعه را بدين‌شكل مي‌توان بيان كرد: - اگر يك خط مستقيم بر دو خط مستقيمي فرود بيايد:
| - زواياي داخلي‌اي در سمت مشابه ايجاد مي‌كند كه كم‌تر از دو زاويه‌ي قايمه است. | | - دو خط مستقيمي ايجاد مي‌كند كه اگر نامحدود باشد در سمتي همديگر را قطع مي‌كنند كه زوايا كم‌تر از دو زاويه‌ي قايمه است. |
در قرن نوزدهم ميلادي «لژاندر» (Legendre) نشان داد كه اين «اصل موضوعه» با عبارت ذيل معادل است:
| - جمع زواياي يك مثلث برابر با دو قايمه است. |
| شكل 2 – جمع زواياي يك مثلث 180 درجه است. |
اين «اصل موضوعه» - كه توسط «اقليدس» (Euclid) مطرح شده – به‌اندازه‌ي كافي پيچيده به‌نظر مي‌رسد به‌گونه‌اي كه بايد از «اصل‌هاي موضوعه‌ي» ديگر قابل اثبات شود. در 2000 سال بعد از «اقليدس» (Euclid) رياضيدانان اعم از حرفه‌اي و آماتور سعي كردند پنجمين «اصل موضوعه» از «اصول موضوعه‌اي» «اقليدس» (Euclid) را از روي چهار «اصل موضوعه‌ي» ديگر اثبات كنند ولي شكست خوردند. هندسه‌اي كه در آن، پنجمين «اصل موضوعه» دانسته فرض مي‌شود هندسه‌ي «مسطحه» (Flat) يا «اقليدسي» (Euclidean) ناميده مي‌شود. ويژگي‌هاي تعيين‌كننده‌‌ي اين هندسه آن است كه همواره جمع زواياي يك مثلث 180 درجه است. هنرمند مشهوري به‌نام «اشر» (Escher) مجذوب چنين هندسه‌اي شد به‌گونه‌اي كه تصويري از زواياي در هم تنيده شده و ابليس‌ها براي نمايش هندسه‌ي «مسطحه» (Flat) استفاده كرد.  | شكل 3 – اثر «م. س. اشر» (M. C. Escher)
با عنوان «تقسيم منظم صفحه»
(Regular Division of the Plane). |
سرانجام در قرن نوزدهم، مثالي از يك هندسه يافت شد كه در آن، «اصل موضوعه‌ي» پنجم «اقليدس» (Euclid) صدق نمي‌كرد اگرچه چهار اصل ديگر در آن مورد صادق بود. مورد مذكور مثالي بود كه كاملاً به‌سادگي فهميده مي‌شد و آن عبارت بود از: سطح يك كره كه به هندسه‌ي «كروي» (Spherical) مشهور بود.
| هندسه‌ي «كروي» (Spherical Geometry) |
در هندسه‌ي «كروي» (Spherical Geometry)، عقيده‌ي اقليدس از خط به دايرهاي بزرگ مبدل شد؛ دايرهاي كه داراي حداكثر شعاع است. اين‌كه مجموع زواياي يك مثلث 1820 درجه باشد ديگر صدق نمي‌كرد. مثلث‌هاي خيلي كوچك داراي زوايايي خواهند بود كه جمع آن‌ها از 180 درجه بيش‌تر است (به‌خاطر آن‌كه از منظر مثلث‌هاي خيلي كوچك، سطح يك كره تقريباً مسطح است). مثلث‌هاي بزرگ‌تر داراي زوايايي بسيار بزرگ‌تر از 180 درجه خواهند بود.
| شكل 4 - جمع زواياي يك مثلث
بيش‌تر از 180 درجه است. |
يك چيز خنده‌دار درباره‌ي طول مدت زماني كه براي كشف هندسه‌ي «كروي» (Spherical) صرف شد آن بود كه هندسه‌ي «كروي» (Spherical) در مورد سطح زمين صدق مي‌كند! اما ما هرگز متوجه آن نمي‌شويم به‌خاطر آن كه ما در مقايسه با اندازه‌ي زمين بسيار كوچك محسوب مي‌شويم به‌گونه‌اي كه اگر مثلثي را بر روي زمين رسم كرده و زواياي آن را اندازه بگيريم مقداري كه جمع زواياي مثلث از 180 درجه بيش‌تر است آن‌قدر ناچيز است كه نمي‌توانيم نشان دهيم.
در شكل 4 تصويري از هندسه‌ي «كروي» نشان داده شده است كه توسط «اشر» (Escher) رسم شده است. 
| شكل 5 - اثر «م. س. اشر» (M. C. Escher)
با عنوان «كره و مثلث و شياطين»
(Regular Division of the Plane). |
اكنون ممكن است بپرسيد آيا هندسه‌اي وجود دارد كه در آن «اصل موضوعي» پنجم اقليدس صدق نكند اما به‌روشي مخالف؟ يعني آيا هندسه‌اي وجود دارد كه در آن، جمع زواياي يك مثلث كم‌تر از 180 درجه باشد؟ در اين مورد جواب وجود دارد و به هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) مشهور است.
| هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) |
هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) به‌سادگي هندسه‌ي «كروي» (Spherical) قابل درك نيست. علت آن است كه در فضاي اقليدسي سه‌بعدي بدون ابهام قابل مدل‌سازي نمي‌باشد. در هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) همانند هندسه‌ي «كروي» (Spherical) چهار «اصل موضوعه‌ي» اول اقليدس صدق مي‌كند اما پنجمين «اصل موضوعه» صادق نيست.
فرض مي‌كنيم خط و نقطه‌اي غير واقع بر آن با حداقل دو خط موازي با آن خط – كه يكي از آن‌ها از نقطه‌ي داده شده مي‌گذرد – وجود دارد. يك روش براي درك هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic)، «مدل نيم‌صفحه‌ي پوانكاره» (Poincare Half Plane Model) ناميده مي‌شود. رابطه‌ي بين اين مدل و فضاي «واقعي» «هذلولوي» (Hyperbolic) مشابه با آن‌چيزي است كه بين «نقشه‌‌هاي مسطح» (Flat Maps) و دنياي «كروي» وجود دارد. به‌عنوان مثال: اگر شما با هواپيمايي در يك خط مستقيم از «تهران» تا «اهواز» پرواز مي‌كنيد و سپس مسير پروازتان را بر روي يك نقشه ترسيم نماييد «مسير» پرواز ديگر مستقيم به‌نظر نخواهد رسيد به‌خاطر اين‌كه خطوط مستقيم خميده به‌نظر مي‌رسند (در نقشه برجسته‌هاي استاندارد، فاصله‌هاي نزديك به قطب‌ها به‌ميزان زيادي منحني شده‌اند). در «مدل نيم‌صفحه‌ي پوانكاره» (Poincare Half Plane Model)، صفحه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) در يك نيم‌صفحه‌ي اقليدسي گسترده شده است. به‌عنوان بخشي از گسترده‌سازي، بسياري از خطوط در صفحه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) در مدل منحني به‌نظر مي‌رسد. خطوط در صفحه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) ممكن است به‌صورت‌هايي نظير ذيل نشان داده شوند:
| - يا خطوطي عمود بر لبه‌ي نيم‌صفحه | | - يا به‌صورت دايره‌هايي كه مراكزشان بر بر لبه‌ي نيم‌صفحه قرار دارد. |
| شكل 6 – خطوط در هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic). |
همان‌طور كه به لبه‌ي نيم‌صفحه نزديك مي‌شويم فاصله زيادتر و زيادتر مي‌شود به‌گونه‌اي كه تنها مي‌توانيم به لبه‌ي مذكور نزديك شويم ولي هرگز وارد نمي‌شويم. مثلثي فصل مشترك سه خط وجود دارد و اگر كمي بيازماييد بايد قادر باشيد خودتان را متقاعد كنيد كه جمع زواياي مثلث هذلولوي هميشه كم‌تر از 180 درجه است. 
| شكل 7 – جمع زواياي يك مثلث كم‌تر از 180 درجه است. |
روش‌هاي ديگري براي مدل كردن هندسه‌ي «هذلولوي» بر روي يك صفحه‌ي مسطح وجود دارد. يك روش آن است كه صفحه‌ي «هذلولوي» بر روي يك دايره نشان داده شود تا فاصله‌اي كه بزرگ‌تر و بزرگ‌تر مي‌شود تا اين‌كه نزديك به محيط دايره شود (شكل 7). 
| شكل 8 – محدوده‌ي دايرهاي «اشر» (Escher). |
هم هندسه‌ي «كروي» (Spherical) و هم «هذلولوي» (Hyperbolic) مثال‌هايي از هندسه‌ي منحني‌ها محسوب مي‌شوند كه شباهتي با هندسه‌ي «اقليدسي» - كه مسطح است - ندارند. در هندسه‌ي «كروي» (Spherical)، انحنا مثبت است ولي در هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) انحنا منفي مي‌باشد.
سؤالي كه در كيهان‌شناسي اكنون براي مدت‌ها مطرح بود مسطح بودن دنيايي است كه در آن زندگي مي‌كنيم كه در اين صورت، زواياي يك مثلث هميشه بيش از 180 درجه خواهد بود. اين مسأله قطعي به‌نظر مي‌رسد اما همان‌طور كه از تاريخ مي‌دانيم اين امر لزوماً راهنماي خوبي محسوب نمي‌شود!
نظريه‌ي نسبيت «اينشتين» (Einstein) به ما مي‌گويد: «گرانش» (Gravity) موجب مي‌شود فضا به‌طور موضعي منحني باشد. اطراف اجسام عظيم نظير: ستارگان، فضا خميده است. اين امر اين‌گونه قابل مشاهده است كه شعاع‌هاي نوري در حين عبور از نزديك چنين اجسامي خميده مي‌شود. نزديك «سياه‌چاله‌ها» (Black Holes)، خميدگي آن‌چنان شديد است كه شعاع‌هاي نوراني‌اي كه خيلي نزديك مي‌شود جذب سياه‌چاله شده هرگز مجدداً ظاهر نمي‌گردد. بنابراين اگر مثلث‌هايي را با شعاع‌هاي نوري همانند پهلوهاي‌تان تصور كنيد تضميني نخواهد بود كه جمع زواياي آن‌ها 180 درجه باشد مگر اين‌كه موقعيت خود را به‌دقت كاملاً دور از اشياي عظيم انتخاب كرده باشيد! اما روش ديگري وجود دارد كه در آن، جهان ممكن است «مسطح» نباشد و اين مسأله در مقياس‌هاي خيلي بزرگ محقق مي‌شود. همان‌طور كه دورتر و دورتر مي‌شويم حتي با تلسكوپ‌هاي قدرتمند مي‌توانيم سرانجام متوجه شويم كه تمام فضا كاملاً خميده است بنابراين اين مگر به‌ميزان اندك امري مشهود نيست مگر در مقياس‌هاي بسيار عظيم. اين چشم‌انداز با استفاده از داده‌هاي به‌دست آمده نشان مي‌دهد كه ما در جهاني «مسطح» (Flat) زندگي مي‌كنيم يا اين‌كه انحنايي وجود دارد البته انحنايي به‌ميزاني بسيار ناچيز. |