با به‌كار بردن «نظريه‌ي ويلسون» باقيماندهي تقسيم بر عدد يك خواهد بود:
در نتيجه باقيماندهي تقسيم بر نيز همان عدد يك خواهد بود:
بنابراين تقسيم بر باقيماندهي دارد:
از اين مسأله نتيجه مي‌گيريم كه عددي صحيح خواهد بود.
اما از آن‌جايي كه زوج است فرد بوده بنابراين نيز فرد است.
مي‌دانيم:
از طرفي داريم:
آن‌گاه عددي صحيح و زوج است بنابراين عددي صحيح و فرد خواهد بود. با استفاده از «نظريه‌ي ويلسون» باقيماندهي تقسيم بر عدد بوده و لذا عددي صحيح و فرد خواهد بود:
بنابراين عبارت ذيل عددي زوج است:
ياداوري – «نظريه‌ي ويلسون» (Wilson's Theorem) كه بيان مي‌دارد عددي اول است اگر باقيماندهي تقسيم بر عدد باشد .
اگر عددي غير اول باشد داراي ضريبي خواهد بود كه كوچك‌تر و مساوي بوده و بر بخش‌پذير است و لذا بر غيرقابل تقسيم مي‌باشد. بنابراين باقيماندهي تقسيم بر عدد نخواهد بود:
اكنون فرض كنيد عدد اول است. اگر باشد در اين‌صورت باقيماندهي تقسيم بر 2 عدد خواهد بود:
اكنون فرض كنيد فرد است. توجه داشته باشيد اگر باقيماندهي تقسيم بر عدد يك و باشد در اين صورت داريم:
يا
براي تقسيم بر و بنابراين تقسيم بر نتيجه مي‌دهد: يا اين‌كه با تقسيم بر نتيجه مي‌دهد: .
اكنون براي هر ، تنها يك وجود دارد به‌گونه‌اي كه باقيماندهي تقسيم بر عدد يك باشد .
ما تنها نشان داده‌ايم كه است اگر يا . بنابراين مي‌توانيم با تقسيم حاصلضرب هر دو بر عدد يك به‌دست آوريم.
مي‌دانيم حاصلضرب توان‌هاي 2 شامل: عبارت است از: .
اگر داشته باشيم: بنابراين بر بخش‌پذير است. بنابراين به‌عنوان مثال براي عبارت ذيل زوج است:
براي عبارت بر بخش‌پذير بوده و بر 8 بخش‌پذير نيست به‌گونه‌اي كه عبارت ذيل زوج است:
نهايتاً مي‌توانيم در مورد اين موضوع را به‌سادگي بررسي كنيم.