مسابقه شماره ۱۷۷
سوال : n دایره در صفحه رسم شده است. با رسم دایره بعدی تعداد نواحی ایجاد شده در صفحه توسط این دایره ها حداکثر چقدر میتواند افزایش یابد؟
الف ) n ب)2n-1 ج) n+1 د) 2n هـ) 2n+1
پاسخ : راه حل اول : با رسم یک دایره از یک نقطه تقاطع تا تقاطع بعدی یک و فقط یک ناحیه اضافه میشود. چون هر دایره, دایره ی دیگر را حداکثر در دونقطه قطع میکند پس تعداد کل نقاط تقاطع دایره ی جدید با دایره های قبل حداکثر n2 شده و در نتیجه تعداد نواحی ایجاد شده حداکثر 2n میباشد.
راه حل دوم : یک دایره صفحه را به دو ناحیه تقسیم میکند که با رسم دایره دوم به صورت متقاطع با دایره اول تعداد نواحی برابر 4 شده و تعداد آن نواحی از 2 به 4 تغییر میکند. بنابراین به ازای n = 1 جواب مورد نظر 2 شده و گزینه های الف و هـ رد میشوند. با رسم دایره سوم به صورت متقاطع با هر دو دایره قبل تعداد نواحی از 4 به 8 افزایش میابد یعنی به ازای n = 2 جواب مورد نظر 4 میشود, بنابراین گزینه های ب و ج نیز رد میشود.