معادله‌ي درجه‌ي سه ... سؤال همراه با جواب
سؤال
a,b,c سه «عدد حقيقي» هستند كه در شرايط ذيل صدق مي‌كنند:
ثابت كنيد:
راهنمايي
فرض كنيد a,b,c ريشه‌هاي يك معادله‌ي درجه‌ي 3 بهشكل ذيل باشد:
فرض كنيد 
ريشه‌هاي يك معادله‌ي درجه‌ي 3 بهشكل ذيل باشد:
(رابطه‌ي 1)
با توجه به اين‌كه مجموع ريشه‌ها 6 و مجموع حاصل‌ضرب‌هاي دودويي آن‌ها 9 است بنابراين داريم:
(رابطه‌ي 2)
فرض مي‌كنيم:
(ربطه‌ي 3)
در اين صورت داريم:
(رابطه‌ي 4)
اگر بخواهيم تابع فوق داراي سه ريشه باشد بايد دلتاي آن كوچك‌تر از صفر باشد (دلتاي هر تابع درجه‌ي 3 بهشكل 
برابر 
است).
(رابطه‌ي 5)
(رابطه‌ي 6)
(رابطه‌ي 7)
طبق رابطه‌ي بالا علامت 
و 
متفاوت است. بنابراين طبق «قضيه‌ي بولتزانو» در يك نقطه بين صفر و يك تابع برابر صفر خواهد بود يعني يكي از ريشه‌هاي رابطه‌ي ذيل بين صفر و يك است:
(رابطه‌ي 8)
(رابطه‌ي 9)
مجدداً با استفاده از رابطه‌ي 1 ريشه‌‌ي ديگر بين 3 و 4 به‌دست مي‌آيد.
اگر ريشه‌ها باشند به‌طوري كه:
(رابطه‌ي 10)
خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 11)