در بين ساعت 3 و 4 يك ساعتي وجود دارد كه دقيقاً عقربه ساعت شمار با دقيقه شمار بر روي هم قرار مي‌گيرند. به نظر شما اين ساعت چند است؟

لطفاً كمي فكر كنيد و بعد ادامه را بخوانيد

حال بياييد اين ساعت را بدست بياوريم. اين كار را به 2 صورت انجام مي‌دهيم كه در ابتدا راه حل دشوار و سپس راه حل ساده را ارائه مي‌دهيم.

فرض كنيد ساعت 12 است و عقربه شمار و ساعت شمار بر روي هم قرار دارند. حال فرض كنيد كه عقربه دقيقه شمار بر روي t است و عقربه ساعت شمار نيز به همان نسبت بر روي 15 + t /12 دقيقه است (عبارت t/12 براي اين است كه در حقيقت در 60 دقيقه عقربه ساعت شمار به اندازه 5 دقيقه جلو مي‌رود)

وقتي دو عقربه بر روي هم منطبق مي‌شوند داريم: t= 15 + t/12 و بنابراين t= 16 + 4/11

و در نتيجه در ساعت 3:16 +4/11 دقيقه دو عقربه بر روي هم قرار مي‌گيرند.

حال براي عميق شدن در اين مسأله بياييد سوال را در مورد ساعت بين 2 و 3 جواب بدهيم يعني وقتي را بدست بياوريم كه عقربه ساعت شمار و دقيقه شمار بر روي هم قرار بگيرند.

با استفاده از همان روش قبل بدست مي‌اوريم: t= 10 + t/12 و در نتيجه t= 10 + 10/11 و در نتيجه جواب ساعت 2:10 + 10/11 دقيقه است.

همانطوري كه ديديد ما در هر دو مورد به كسرهايي كه 11 در مخرج آن‌ها است رسيديم. ما فهميديم كه در 12 ساعت، عقربه ساعت شمار و دقيقه شمار 11 بار بر روي هم قرار مي‌گيرند كه از ساعت 12 شروع مي‌شود و در هر ساعت يكبار اين اتفاق مي‌افتد به غير از ساعت 12 تا 1 و 11 تا 12 و اين به اين علت است كه عقربه دقيقه شمار با سرعت بيشتري نسبت به ساعت شمار حركت مي‌كند.

ديديم كه تطبيق بين ساعت 3 و 4 در 3/11 مسير اتفاق مي‌افتد يعني به طور مثال 3/11 * 60 = 16 + 4 /11 دقيقه بعد از ساعت 3 عمل تطبيق اتفاق مي‌افتد.

حالا نظرتان درباره عقربه ثانيه شمار چيست؟

هيچ ساعتي به غير از ساعت 12 وجود ندارد كه سه عقربه ساعت شمار و دقيقه شمار و ثانيه شمار بر هم منطبق بشوند. دليل اين اتفاق اين است كه عقربه ثانيه شمار و دقيقه شمار در 59 نقطه بر روي يكديگر قرار مي‌گيرند و اعداد 11 و 59 ضريب‌هاي مشتركي ندارند (اگرچه عقربه ساعت شمار و ثانيه شمار در 719 نقطه بر روي يكديگر قرار مي‌گيرند)

حال به نظر شما به غير از ساعت 12 چه موقع سه عقربه بر هم منطبق مي‌شوند؟

براي پاسخ به اين سوال، به 11 نقطه‌اي كه عقربه‌هاي ساعت شمار و دقيقه شمار بر روي هم قرار مي‌گيرند توجه مي‌كنيم و زماني را پيدا مي‌كنيم كه عقربه ثانيه شمار نيز بر روي آن‌ها قرار بگيرند.

زماني كه عقربه ثانيه شمار در نزديكترين حالت خود قرار دارد، نزديكترين زماني است كه سه عقربه به همديگر بسيار نزديك هستند. تطبيق دو عقربه ساعت شمار و دقيقه شمار بين ساعت 1 و 2 در 5+5/11 دقيقه اتفاق مي‌افتد و در اين زمان عقربه ثانيه شمار از اين دو عقربه دور است. به طور مشابه بين ساعت 2 و 3 در 10+10/11 دقيقه بعد اتفاق مي‌افتد كه عقربه ثانيه شمار در 10/11 اطراف محيط قرار دارد كه همچنان بسيار دور است.
با ادامه اين روند مي‌فهميم كه در زمان‌هايي كه تطبيق عقربه هاي ساعت شمار و دقيقه شمار اتفاق مي‌افتد و عقربه ثانيه شمار نيز در نزديكترين جالت به اين دو است در ساعت‌هاي 3:16 + 4/11 دقيقه و 8:43 + 7/11 دقيقه روي مي‌دهد.

در اين زمان‌ها عقربه ثانيه شمار در 4/11 و 7/11 محيط دايره قرار دارد. در هر دو حالت كه ثانيه شمار در نزديكترين حالت ممكن وجود دارد، بر عقربه ساعت شمار منطبق مي‌شود اما چون عقربه دقيقه شمار سرعت بيشتري دارد بر روي آن منزبق نمي‌شود.

در بين ساعت 3:16 و 3:17 دو عقربه ثانيه شمار و ساعت شمار بر روي هم منطبق مي‌شوند كه زمان دقيق آن از فرمول زير محاسبه مي‌شود:

t= 15 + 16/12 + t/720

و بنابراين مي‌شود t= 16 + 196/719 دقيقه

پس جواب مي‌شود: t= 3:16 + 256/719 ثانيه. تفاوت بين عقربه ساعت شمار و دقيقه شمار در اين حالت نيز برابر

(16 +256/719) / 60 – (16 +196 / 719) / 60 = 1 /719 محيط دايره

و اين كاملا حس مي‌شود. و ساعت بعدي نيز برابر 8:43:43 + 463 / 719 ثانيه.