در مركز هجده‌ضلعي، شش پنج‌ضلعي در زاويه‌اشان يعني .gif)
به يكديگر مي‌پيوندند. بنابراين رابطهي ذيل برقرار است:
(رابطهي 1)
چون همه‌ي اضلاع پنج‌ضلعي مساوي هستند مثلث .gif)
يك متساوي‌الاضلاع بوده و چهارضلعي .gif)
يك «لوزي» است.
.gif)
زاويه‌ي داخلي 18ضلعي است لذا رابطهي ذيل صادق است:
(رابطهي 2)
بنابراين رابطهي ذيل را خواهيم داشت:
(رابطهي 3)
بنابراين روابط ذيل صادق خواهد بود:
(رابطهي 4)
و هم‌چنين روابط ذيل را داريم:
(رابطهي 5)
نهايتاً روابط ذيل را خواهيم داشت:
(رابطهي 6)
با خلاصه كردن، روابط ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 7)
(رابطهي 8)
(رابطهي 9)
(رابطهي 10)
(رابطهي 11)
.gif)
|
شكل 2. |
براي اين‌كه نشان دهيم نقاط .gif)
، .gif)
و .gif)
بر روي يك خط هستند بايد رابطهي ذيل را ثابت كنيم:
(رابطهي 12)
.gif) |
شكل 2. |
براي اين منظور، نقاط .gif)
، .gif)
، .gif)
و .gif)
را مانند شكل 3 نام‌گذاري مي‌كنيم.
چون طول همه‌ي اضلاع برابر است مي‌توانيم به‌سادگي مثلث‌هاي متساوي‌الساقيني ايجاد كنيم تا بتوانيم اندازه‌ي زواياي مورد نظر را بيابيم.
در مثلث .gif)
روابط ذيل برقرار است:
(رابطهي 13)
(رابطهي 14)
بنابراين رابطهي ذيل را داريم:
(رابطهي 15)
پس در مثلث .gif)
روابط ذيل برقرار است:
(رابطهي 16)
(رابطهي 17)
بنابراين روابط ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطهي 18)
بنابراين روابط ذيل را خواهيم داشت:
(رابطهي 19)
(رابطهي 20).