مثلثی که از وصل کردن مرکز‌های سه دایره‌ی رنگی حاصل می‌شود را در نظر بگیرید. همان‌طور که در شکل 2 مشاهده می‌کنید این مثلث یک مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع به‌طول 3، 4 و 5 است:
.gif) |
شكل 2. |
حال اگر مرکز دایره‌ی درونی را به رؤوس این مثلث وصل کرده و از این نقطه به اضلاع به طول 3 و 4 عمود کنیم شکل 3 حاصل می‌شود.
.gif)
|
شكل 3. |
4 مثلث قائم‌الزاویه در شکل دیده می‌شود که دو تا از آن‌ها یکسان هستند. رابطهی فیثاغورث را برای آن‌ها می‌نویسیم:
(رابطه‌ي 1)
(رابطه‌ي 2)
(رابطه‌ي 3)
با ترکیب رابطه‌های 1 و 2 رابطه‌هاي ذيل را به‌دست می‌آوریم:
(رابطه‌ي 4)
(رابطه‌ي 5)
با جایگزینی این مقادیر در رابطهی 1 رابطه‌ي ذيل حاصل می‌شود:
(رابطه‌ي 6)
با ساده کردن رابطه‌ي 6 رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطه‌ي 7)
جواب‌های رابطه‌ي 7 عبارت‌اند از:
بنابراین شعاع دایره‌ی درونی برابر 6 است.