«استون» (Stone) به‌ويژه علاقه‌مند شد به اين‌كه اين گزاره را ثابت كند: «غير ممكن است يك مربع داده شده را به مربع‌هاي غير هم اندازه تقسيم كرد». در حالي كه قادر به اثبات اين امر نبود وي تقسيم مستطيل به مربع‌هاي غير هم اندازه را كشف كرد.

يك روش براي يافتن مستطيل‌هايي كه بتوانند به مربع‌هاي غير هم اندازه تقسيم شوند آن بود كه نقشه‌اي از تقسيم‌هاي پيشنهادي به مربع‌هاي غير هم اندازه تهيه كند؛ طول هر يال (ضلع) هر مربع را تعيين نمايد. هم‌چنين به نوشتن همه‌ي معادله‌هايي بپردازد كه طول يال‌ها در آن صدق مي‌كند تا بدين‌ترتيب در مجموع، مستطيلي به‌دست بيايد. سپس سيستم معادله‌هاي به‌دست آمده را حل كند.

بنا داريم اين روش را براي‌تان اجرا كنيم. به‌جاي اين‌كه متغيرهاي بي‌شماري را با تقسيم مستطيل به مربع‌ها ايجاد كنيم سعي مي‌كنيم مربع‌هاي مجاور را به‌گونه‌اي نام‌گذاري نماييم كه با نقشه سازگاري داشته باشند. بدين‌ترتيب متغيرهاي كم‌تري ايجاد شده حذف آن‌ها راحت‌تر خواهد بود.

مربع‌هاي مجاور را با ،  و  نام‌گذاري مي‌كنيم (شكل 3). بنابراين نام‌گذاري مربع‌هاي ديگر به اين روش ساده خواهد بود:

سپس روابط بين متغيرها را به‌دست مي‌آوريم.

به‌عنوان مثال:

رابطه‌ي بين طول اضلاع مربع‌هاي داخل مستطيل را مي‌نويسيم؛ براي اضلاع افقي رابطه‌ي ذيل را مي‌توان نوشت:

(رابطه‌ي 1)

و يا:

(رابطه‌ي 2)

و براي ضلع عمودي مستطيل روابط ذيل صادق است:

(رابطه‌ي 3)

و يا:

(رابطه‌ي 4)

بنابراين داريم:

(رابطه‌ي 5)

مشاهده مي‌كنيم اگر در نظر بگيريم پوشش‌هايي نظير شكل 4 به‌دست خواهيم آورد. اگر مقدار  را برابر هر مقدار مثبت در نظر بگيريم شكلي مشابه با ضريبي با اندازه‌ي ‌برابر به‌دست خواهيم آورد. اگر طول يال افقي را (مثلاً: 64) تعيين كنيم پس  برابر با 2 بوده و شكل به‌طور كامل به‌دست خواهد آمد.

در شكل 4 تعيين دو متغير  و  براي مشخص كردن طول همه‌ي يال‌ها كافي است. اگر بخواهيم روابط براي تعيين طول يال‌ها را بنويسيم مي‌توانيم موارد ذيل را ذكر كنيم:

(رابطه‌ي 6)

و يا داريم:

(رابطه‌‌ي 7)

جايگذاري مقادير  منجر به روش «استون» (Stone) در تقسيم مستطيل  مي‌شود (شكل 2). بقيه‌ي مقادير  و  كه در رابطه‌ي 7 صدق كند تصاويري مشابه شكل 2 ايجاد خواهد كرد.

براي اين‌كه نشان دهيم اين روش هميشه امكان‌پذير نخواهد بود به مثال ذيل توجه كنيد.

با مقادير  و  در شكل 5 آغاز مي‌كنيم. مي‌توانيم مربع‌هاي ديگر را به‌صورت ذيل نام‌گذاري كنيم:

با نوشتن روابط مربوط به طول اضلاع (يال‌هاي) عمودي رابطه‌هاي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌‌ي 8)

و يا:

(رابطه‌‌ي 9)

در نتيجه رابطه‌هاي ذيل صادق خواهد بود:

(رابطه‌‌ي 10)

در شكل 5 مربع وسطي از لحاظ اندازه به‌قدري كوچك مي‌شود كه به‌سمت «نقطه بودن» نزديك مي‌شود. ما صرفاً مستطيل مذكور را به چهار بخش مساوي تقسيم كرده‌ و در واقع يك مربع داريم.

اين مسأله به ما نشان مي‌دهد سيستم با معادله‌هاي خطي - كه از نقشه‌ي تقسيم دلخواه از يك بخش به‌دست آورده‌ايم – داراي «يك جواب» است البته به‌جز «ضرايب» آن ‌(Scaling Factor).

اگرچه جواب لزوماً از لحاظ هندسي ممكن است عملي نباشد. اين امر زماني مي‌تواند واقع شود كه به‌عنوان مثال، بعضي از طول يال‌ها به‌سمت «منفي بودن» ‌نزديك شود و اين‌كه در زمينه‌ي مسائل پوشش دادن مفهومي نداشته باشد.

از تجربه‌هاي قبلي‌مان در زمينه‌ي سيستم‌هاي معادله‌هاي خطي مي‌دانيم ممكن است:

در تمام مثال‌هايي كه ارائه شد تعداد روابط با تعيين طول ضلع (يال) يك زوج از يال‌هاي مستطيل‌هاي موجود (نه از طول ديگر از اشكال) به‌دست مي‌آمد.

به‌عنوان مثال: هر سيستم يك جواب منحصر به‌فرد دارد. آيا اين امري خوشايند است؟

براي ارائه‌ي بحثي دقيق‌تر، مستطيلي را در نظر بگيريد كه به مربع‌هايي تقسيم شده است. با توجه به تقسيم هر پاره‌خط در امتداد افقي (شكل 6) رابطه‌ي ذيل را خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 11)

رابطه‌ي 11 به ما مي‌گويد جمع طول اضلاع مربع‌ها كه يك ضلع مستطيل را پوشانده‌اند با جمع طول اضلاع مربع در ضلع ديگر مستطيل برابر است. به چنين روابطي اصطلاحاً «روابط سازگار با امتداد افقي» (Horizontal Compatibility Relation) مي‌گوييم.

به‌طور مشابه با توجه به تقسيم هر پاره‌خط در امتداد عمودي روابطي خواهيم داشت كه اصطلاحاً «روابط سازگار با امتداد عمودي» (Vertical Compatibility Relation) مي‌ناميم.

واضح است كه مجموعه‌ي همه‌ي اشكال روابط سازگار تشكيل يك سيستم  از روابط خطي خواهند داد.

قضيه‌اي مي‌گويد:

«اگر يكي از دو بعد يك مستطيل تقسيم شده تعيين شده باشد «سيستم روابط سازگار»  (Compatibility Relations) هميشه «جواب واحدي» (Unique Solution) خواهد داشت».

ياداروي - «جواب واحد» (Unique Solution) لزوماً داراي معناي هندسي نيست.

براي اثبات از قوانين فيزيكي، فرض كنيد مستطيل، صفحه‌اي از فلز رسانا با ضخامت كم باشد. فرض كنيد همه‌ي نقاط واقع بر يال (ضلع) بالايي مستطيل داراي «اختلاف پتانسيل الكتريكي» يكساني به‌ميزان  است. هم‌چنين «اختلاف پتانسيل الكتريكي» همه‌ي نقاط مستطيل پاييني داراي مقدار پايين‌تر   باشد (مثلاً: با پوشش اين لبه‌ها با مواد رساناي كامل اين امر محقق شده است). به‌خاطر اختلاف پتانسيل معين ، جريان ثابتي در مستطيل در امتداد عمودي برقرار مي‌شود.

سرعتي كه در آن، الكترون‌ها از فاصله‌ي افقي عبور مي‌كنند متناسب با طول فاصله‌ي مذكور است. هم‌چنين اگر  «شدت جريان» عبوري در فاصله‌ي افقي با طول واحد باشد «شدت جريان» عبوري در فاصله‌ي  عدد 11 خواهد بود.

«مقاومت» يك چنين مستطيلي در برابر «جريان الكتريكي» به‌طور مستقيم متناسب با طول عمودي مستطيل  (نسبت به فاصله‌‌اي كه جريان بايد عبور كند) بوده و با ضخامت مستطيل  (فاصله‌اي كه «شدت جريان» در امتداد آن ممكن است وارد شود) رابطه‌ي معكوس دارد.

به‌عنوان مثال:

رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

= مقاومت

(رابطه‌ي 12)

بنابراين اگر «مستطيل»، «مربع» باشد رابطه‌ي ذيل برقرار است:

(رابطه‌ي 13)

در نتيجه با جايگذاري رابطه‌ي 13 در رابطه‌ي 12، متوجه مي‌شويم «مقاومت» به «اندازه‌ي مربع» بستگي ندارد.

اكنون فرض كنيد چنين مستطيل هادي جريان به مربع‌هايي تقسيم شود. چون جريان در امتداد عمودي است (جريان در امتداد افقي موجود نيست) ممكن است در امتداد عمودي بدون هيچ مانعي حركت كند.

حالا به تقسيم صفحه به‌عنوان يك «شبكه» نظر مي‌افكنيم كه در آن:

همان‌طور كه در شكل 7 مشخص شده  در شبكه، پاره‌خط‌هاي افقي در سطوح  از مستطيل مذكور هستند. هم‌چنين سيم‌هاي  نشان‌دهنده‌ي مربع‌هاي مربوط به سطوح ،  تا  مي‌باشند. بزرگي «شدت جريان» عبوري در هر سيم متناسب با «طول ضلع» مربع است كه سيم براي نشان دادن آن به‌كار رفته است.

به‌عنوان مثال:

رأس  (مربوط به پاره‌خط افقي در سطح ) «شدت جرياني» به‌ميزان از طريق سيم‌هاي  و  دريافت مي‌كند كه متناسب با مجذور  و  است. ‌«شدت جرياني» به‌ميزان  را از طريق سيم‌هاي  و  از دست مي‌دهد كه متناسب با مجذور   و  مي‌باشد.

با توجه به «قانون بقاي شدت جريان» مي‌توان رابطه‌ي ذيل را نوشت:

(رابطه‌ي 14)

رابطه‌ي 14 تنها يكي از «روابط سازگار افقي» ما محسوب مي‌شود.

از آن‌جايي كه «شدت جريان‌ها» در ضلع بالايي صفحه‌ي مستطيلي مذكور در امتداد عمودي به‌سمت پايين به‌سمت ضلع پاييني صفحه برقرار است مي‌بينيم كه هر نقطه در سطح افقي يكسان داراي «اختلاف پتانسيل الكتريكي» مشابه هستند؛ هم‌چنين نقاط واقع بر سطح افقي بالاتر داراي «اختلاف پتانسيل الكتريكي» بالاتري نسبت به نقاط پاييني هستند.

بر طبق قانون «اهم»، «اختلاف پتانسيل» دو نقطه از شبكه – كه به‌وسيله‌ي يك سيم متصل شده‌اند – با حاصل‌ضرب «شدت جريان» عبوري از آن سيم و «مقاومت» برابر است.

به‌عنوان مثال:

«اختلاف پتانسيل» بين نقاط  و  - كه با و  در صفحه نام‌گذاري شده‌اند – از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 15)

كه در آن داريم:

	= «شدت جريان» ورودي در صفحه‌ي بالايي مربع
	= طول ضلع مربع
	= مقاومت مربع

علاوه بر آن، «اختلاف پتانسيل» داراي خاصيت «جمع‌پذيري» است يعني اگر  و  دو رأس در شبكه باشند كه به هم از مسير  و  در مرتبط شده‌اند تفاوت «اختلاف پتانسيل‌ها» بين  و با جمع اختلاف پتانسيل‌ها بين و  و هم‌چنين و  برابر است. به‌عبارت ديگر در مثال مذكور داريم:

(رابطه‌ي 16)

در نتيجه براي هر مسير بسته در شبكه‌ي مذكور يعني ، جمع متناظر عبارت است از: «صفر». هم‌چنين براي هر دو مسير با نقطه‌ي ابتدايي يكسان و نقطه‌ي انتهايي يكسان، جمع‌هاي مرتبط يكسان هستند. بنابراين براي  و  داريم:

(رابطه‌ي 17)

يا به‌عبارتي ساده‌تر داريم:

(رابطه‌ي 18)

رابطه‌ي 18 يكي از همان «روابط سازگار با امتداد افقي» (Horizontal Compatibility Relation) است كه قبلاً ذكر كرديم.

استفاده از قوانين «بقاي جريان» و «اهم» نتيجه مي‌دهد كه يك سيستم با «معادله‌هاي خطي» (Linear Equations) معادل با «سيستم  با روابط سازگاري» است.

اكنون مي‌توان باور كرد كه اگر «اختلاف پتانسيلي» براي يك شبكه (همانند مورد توضيح داده شده) تعيين شود – يعني «اختلاف پتانسيل‌ها» در رؤوس  و يعني بالا و پايين صفحه‌ي مذكور داده شود يا معادل يكديگر باشند – «شدت جرياني» كه در هر سيم جريان مي‌يابد مشخص مي‌شود. اين در حقيقت محتواي قضيه‌ي مشهور «كيرشهف» (Kirchhoff) است:

«اگر يك اختلاف پتانسيل بين هر دو نقطه از يك شبكه معين شود پس قوانين «بقا» و «اهم» يگانگي «شدت جريان» در هر سيم را تعيين مي‌كند».

از آن‌جايي كه اين قوانين فيزيكي معادل «روابط سازگاري هندسي» است («اختلاف پتانسيل» معين شده مرتبط با ابعاد عمودي مستطيل) اثبات اين‌كه سيستم  داراي جوابي منحصر به‌فرد است به‌نظر مي‌رسد نتيجه‌اي فرعي از قضيه‌ي «كيرشهف» ‌باشد.

اولاً - ياداوري كرديم كه جواب «سيستم خطي » ممكن است شامل مقادير «غيرمثبت» باشد. اين موارد با ايجاد طول اضلاع مربع‌ها قابل‌بيان نيست؛ بنابراين چنين جواب‌هايي از «سيستم خطي » نمي‌تواند جواب پوشش دادن با مربع‌‌هاي مذكور باشد.

ثانياً - به ياد داريم كه در حل يك سيستم از معادله‌هاي خطي يعني با حذف موفقيت‌اميز مجهول‌ها يا با استفاده از «دترمينان‌ها» (Determinans) يا هر روش ديگر، تنها از عمليات منطقي مثل: جمع، تفريق و تقسيم استفاده مي‌كنيم؛ يعني اگر همه‌ي ضرايب «سيستم خطي » گويا باشند (در اين حالت وقتي يكي از ابعاد مستطيل معلوم باشد يا «اختلاف پتاسيل» شبكه عددي گويا باشد) تمام مقادير در جواب «سيستم خطي »، «گويا» خواهند بود.

اين بدين‌معنا است كه يك مستطيل كه داراي ابعاد «گنگ» ( «گنگ») است نمي‌تواند با مربع‌هايي پوشش داده شود.

ممكن است با اعمال يك روش قاعده‌مند سعي كنيم مستطيل را پوشش دهيم. بدين‌ترتيب كه همه‌ي بخش‌هاي ممكن را به  مربع تقسيم كرده و اجازه دهيم عدد صحيح  افزايش يابد. سپس امكان دارد «سيستم خطي » را براي هر بخش حل كرده و همه‌ي بخش‌هايي را كه داراي جواب‌هاي هندسي ناممكن هستند رها كنيم. حتي بين جواب‌هاي ممكن امكان دارد بسياري مورد علاقه نباشد (به‌عنوان مثال: تقسيم به مربع‌هايي با اندازه‌ي برابر در مسأله‌ي مورد نظر و ...).

شروطي نظير موارد ذيل شرايطي را در جواب‌هاي «سيستم خطي » تحميل مي‌كند:

شايد بتوانيم اين مسأله را به‌صورت لحظه‌اي از زاويه‌اي ديگر بررسي كنيم يعني همه‌ي شبكه‌هايي را رها كنيم كه درباره‌ي آن از راه قياس مي‌دانيم جواب‌هاي «سيستم خطي » به‌صورت يكي از اشكال ذيل است:

ايجاد (يا پوشش دادن با) مربع‌هاي جديد كه در آن هيچ دو مربعي داراي اندازه‌ي يكسان نباشد اصطلاحاً «كامل» بودن (Perfect) اطلاق مي‌شود.

«توته» (Tutte) و دوستانش عمدتاً بر روي پوشش دادن «كامل» (Perfect) تمركز داشتند. آن‌ها قصد داشتند يك «مربع كامل» (Perfect Square) پيدا كنند يعني مربعي كه به‌طور «كامل» (Perfect) پوشش داده شود. نتايج تحقيق‌هاي‌شان منجر به ورود مستطيل‌ (غيرمربع) شد. بدين‌ترتيب اين تفكر كه «مربع كامل»‌ (Perfect Square) وجود ندارد آغاز شد.

اما به هر حال در سال 1318 (1939 ميلادي) محققي از «برلين» به‌نام «رولاند اسپراگ» (Roland Sprague) يك و سپس تعداد بيش‌تري «مربع كامل» كشف كرد.

بدين‌ترتيب توجه محققان به‌سمت يافتن «مربع كامل»‌ (Perfect Square) با كم‌ترين تعداد مربع‌ها در آن (كم‌ترين «مرتبه») (Lowest Order) جلب شد. به‌طوري كه رياضيداني آماتور به‌نام «ت. هـ. ويلكاكس» (T. H. Wilcocks) اهل «بريكسول» انگلستان موفق شد مرتبه‌ي 24 (24 مربع) را ثبت كرد (شكل 8).

پوشش دادني «ساده» (Simple)‌ ناميده مي‌شود اگر آرايش مربع‌هاي به‌گونه‌اي باشد كه هيچ مربع مستطيل در داخل مربع اوليه ايجاد نشود. «مربع كامل» «ت. هـ. ويلكاكس» (T. H. Wilcocks) «مركب» (Compound) بود ولي «ساده» (Simple) محسوب نمي‌شد. بنابراين توجه محققان بر روي «مربع كامل و ساده با كم‌ترين مرتبه‌« (Simple Perfect Square of Lowest Order) جلب شد.

تا اين اواخر، «ت. هـ. ويلكاكس» (T. H. Wilcocks) هم‌چنين موفق به ثبت مرتبه‌ي 37 هم شد. اما به هر حال در سال 1343 (1964 ميلادي) دكتر «جان ويلسون» (John Wilson) از دانشگاه «واترلو» (Waterloo) – كه يكي از دانشجويان «توته» (Tutte) محسوب مي‌شد – با استفاده از كامپيوتر الكترونيكي رتبه‌ي 25 را ثبت كرد (شكل 9) و يكي از ركوردداران در اين زمينه محسوب مي‌شود.

با استفاده از كامپيوتر نشان داده شده است كه هيچ «مربع كاملي» با مرتبه‌ي كم‌تر از 20 اعم از «ساده» يا نوع ديگر وجود ندارد. بنابراين ثابت شد فضاي زيادي براي تحقيق در جهت بالا بردن اين ركورد موجود نيست.

«غيرممكن است يك جعبه‌ي مستطيلي را با تعداد محدودي از مربع‌هاي غير هم‌اندازه پر كرد».

براي اثبات قضيه‌اي كه ذكر شد بايد گفت: هر بسته‌بندي موفق از جعبه‌ها، منجر به پوشش دادن سطح زيرين جعبه با مكعب‌هايي مي‌شود كه سطح زيرين‌شان با سطح زيرين مكعب مستطيل يكسان باشد.

كوچك‌ترين مكعب  بين مكعب‌هايي كه سطح زيرين جعبه را پوشش مي‌دهند مطمئناً يك وجه عمودي جعبه را لمس نخواهند كرد. بنابراين بايد حتي كوچك‌تر از مكعبي باشند كه سطح زيرين جعبه را لمس مي‌كند (شكل 10).

كوچك‌ترين مكعب در سطح زيرين جعبه آشكارا در مركز سطح زيرين بوده و بايد هر ضلعش با مكعب‌هاي بزرگ‌تر در تماس باشد. پس سطح بالايي اين مكعب به‌طور كامل محصور شده است (شكل 11). براي پوشش دادن اين سطح بالايي حتي به مكعب‌هاي كوچك‌تري نياز است.

كوچك‌ترين مكعب بين مكعب‌هاي سطح بالايي ، دوباره در بخش مركزي با مكعب‌هاي بزرگ‌تر محصور مي‌شود. بنابراين حتي مكعب‌هاي كوچك‌تر هنوز بايد در لايه‌ي سوم بر بالاي اين مكعب داخلي محصور وجود داشته باشند. اين استدلال - بدون اين‌كه انتهايي داشته باشد – ادامه مي‌يابد و نشان مي‌دهد كه تعداد مكعب‌هايي كه بايد به‌كار برده شوند بي‌پايان است.

نتيجه‌ي 1 - مي‌توان نشان داد مستطيلي وجود دارد كه مي‌توان به  مربع غير هم‌اندازه تقسيم كرد كه در آن  بزرگ‌تر از 8 است به‌عنوان مثال: .

نتيجه‌ي 2 – در پوشش دادن يك مثلث متساوي‌الاضلاع با مثلث‌هاي متساوي‌الاضلاع غير هم ‌اندازه مي‌توان نشان داد:

	- كوچك‌ترين مثلث متساوي‌الاضلاع  كه سطح زيرين مثلث اوليه را لمس مي‌كند آن را تنها در «يك نقطه» لمس خواهد كرد (شكل 13).   شكل 13.
	- كوچك‌ترين مثلث متساوي‌الاضلاع ‌كه سطح بالايي را لمس مي‌كند آن را تنها در «يك نقطه» لمس خواهد كرد (شكل 14).   شكل 14.
	- غيرممكن است يك مثلث متساوي‌الاضلاع را با مثلث‌هاي متساوي‌الاضلاع غير هم اندازه – كه هر دوتاي آن يكسان نباشند – پوشش داد. ياداوري – نتيجه‌ي آخر به‌عنوان يك قضيه توسط «توته» (Tutte) در سال 1327 (1948 ميلادي) اثبات شد.