سوال             بر روی صفحه ای تعداد 3n نقطه وجود دارد که هیچ سه تایی آنها بر روی یک خط راست قرار ندارن. ثابت کنید که میتوان با این نقاط تعداد n  مثلث ساخت که کاملا جدا از هم باشند.  دو مثلث را جدا ازهم میگوییم اگر هر یک در بیرون دیگری قرار گرفته باشد و رئوس و اضلاع آنها هیچ برخوردی با یکدیگر نداشته باشند.

پاسخ

دستگاه مختصات دلخواهی را انتخاب میکنیم و نقاط را برحسب میزان طولشان در این دستگاه مرتب میکنیم. مثلا فرض منید نقاط مورد نظر p₁(x₁,y₁)  و p₂(x₂,y₂) و p_3n(x_3n,y_3n)  باشند به طوریکه x₁≤x₂≤…≤x_3n.

مثلثهای p₁p₂p₃  و p₄p₅p₆ و … و p_3n-2p_3n-1p_3n را در نظر بگیرید. واضح است که این مثلثها جدا از هم هستند.

سوال             بر روی صفحه ای تعداد 3n نقطه وجود دارد که هیچ سه تایی آنها بر روی یک خط راست قرار ندارن. ثابت کنید که میتوان با این نقاط تعداد n  مثلث ساخت که کاملا جدا از هم باشند.  دو مثلث را جدا ازهم میگوییم اگر هر یک در بیرون دیگری قرار گرفته باشد و رئوس و اضلاع آنها هیچ برخوردی با یکدیگر نداشته باشند.

پاسخ

دستگاه مختصات دلخواهی را انتخاب میکنیم و نقاط را برحسب میزان طولشان در این دستگاه مرتب میکنیم. مثلا فرض منید نقاط مورد نظر p₁(x₁,y₁)  و p₂(x₂,y₂) و p_3n(x_3n,y_3n)  باشند به طوریکه x₁≤x₂≤…≤x_3n.

مثلثهای p₁p₂p₃  و p₄p₅p₆ و … و p_3n-2p_3n-1p_3n را در نظر بگیرید. واضح است که این مثلثها جدا از هم هستند.