در ریاضیات مسایلی وجود دارند که پاسخ قانع کننده‌ای برای آن‌ها نداریم. پارادکس‌ها یا تناقض‌ها از این دسته‌اند. در این نوشتار به برخی پارادکس‌های تاریخی اشاره خواهیم داشت. در پایان یک مساله مطرح خواهد شد که به مسئله‌ی هشت وزیر معروف است، که تحت ریاضیات تفریحی، می‌توان آن را مطرح کرد.

صورت‌های قابل فهم زیر را  برای عامه، از پارادکس راسل در نظر بگیرید:

(الف) در کشوری هر شهرداری باید یک شهردار داشته باشد و هیچ دو ناحیه‌ی شهرداری نمی‌تواند یک شهردار داشته باشند. بعضی از شهردارها در حوزه شهرداری محل خدمت خود سکونت ندارند. قانونی تصویب می‌شود که شهرداران غیر ساکن را به سکونت در یک ناحیه معین A ملزم می‌کند. تعداد شهرداران  غیر ساکن به قدری است که A خود بخشی دارای شهردار اعلام می‌شود. شهردار A کجا باید اقامت نماید؟

(ب) در زبان انگلیسی صفتی را که خود را توصیف کند حمل‌پذیر می‌نامند درغیر این صورت صفت را حمل‌ناپذیر می‌گویند. مثلا صفات «کوتاه»، «English»  و «چندسیلابی» توصیف کنننده خود هستند و بنابراین حمل‌پذیرند درحالیکه صفات «دراز» و «انگلیسی» و «تک سیلابی» توصیف کنننده خود نیستند و بنابراین حمل‌ناپذیرند. حال می‌خواهیم بدانیم که صفت «حمل-ناپذیر» حمل‌پذیر است یا حمل‌ناپذیر؟

(ج) فرض کنید که کتابداری، برای گذاشتن در کتابخانه‌اش، یک کتابنامه از همه‌ی کتابنامه‌هایی که نام آن‌ها در خود آن‌ها فهرست نشده، گردآوری می‌کند.

پارادکس زیر را بررسی کنید.
هر عدد طبیعی را می‌توان به زبان عرفی و بدون استفاده از نمادهای عددی بیان کرد. مثلا 5 را می‌توان با «پنج» یا «نصف ده» یا «دومین عدد اول فرد» یا «جذر مثبت عدد بیست و پنج» و عباراتی از این قبیل بیان کرد. حال عبارت «کوچکترین عدد طبیعی که با کمتر از دوازده کلمه بیانش کرد.» را در نظر بگیرید. این عبارت یک عدد طبیعی را با یازده کلمه بیان می‌کند که با کمتر از دوازده کلمه قابل بیان نیست.

(الف) یک کروکدیل که بچه‌ای را دزدیده است: به پدر بچه قول می‌دهد که بچه را برگرداند به شرطی که پدر بچه حدس بزند که بچه برگردانده می‌شود یا نه. اگر پدر بچه حدس بزند که بچه بازگردانده نخواهد شد، کروکدیل چه باید بکند؟

(ب) کاشفی به دست‌آدمخوارانی گرفتار آمده است که به او این فرصت را می‌دهند تا جمله‌ای ابراز کند که به شرط درست بودن آن، او را آب‌پز کنند و اگر نادرست باشد وی را کباب کنند. اگر کاشف بگوید که «من کباب خواهم شد» آدمخواران چه باید بکنند؟

(ج) آیا حکم «هر قاعده را استثنائاتی است» ناقص خود است؟

(د) اگر یک نیروی مقاومت ناپذیر  با جسم حرکت ناپذیری برخورد کند، چه خواهد شد؟

(ه) اگر زئوس (الهه‌ی قدرت در یونان باستان) قادر به هر کاری باشد، آیا می‌تواند سنگی بسازد که نتواند آن را بلند کند؟

غلامرضا پورقلی