بسياري از بزرگان عالم رياضيات اعتراف كرده‌اند كه اثبات «ارشميدس» براي بي‌نهايت بودن تعداد اعداد اول از جمله مهم‌ترين و زيباترين گزاره‌هاي تاريخ رياضيات است. براي اثبات اين موضوع راه‌حل‌هاي زيادي عنوان شده است كه اثبات «ارشميدس» از همه قديمي‌تر، زيباتر و آسان‌تر است. پس ارشميدس اثبات كرده است كه به ازاي هر عدد صحيح .gif) ،  هميشه عدد اولي بزرگ‌تر از وجود دارد1. اما كوچك‌ترين عدد اول بزرگ‌تر از چقدر از مي‌تواند بزرگ‌تر باشد؟ «جوزف برتراند» (1201 تا 1279) (1822 تا 1900 ميلادي) (Joseph Bertrand) در سال 1224 (1845 ميلادي) حدس زد كه به‌ازاي ، هميشه عدد اولي بين و .gif) وجود دارد. اين حدس در سال 1229 (1850 ميلادي) توسط «چبيشف» (Chebyshev) اثبات شد.
.gif) را اُمين عدد اول فرض كنيد و نيز فرض كنيد .gif) عبارت باشد از تعداد اعداد اول كوچك‌تر از .gif) .
مثلاً:
و
ثابت كنيد اگر عددي صحيح و بزرگ‌تر از 6 باشد، آ‌ن‌گاه خواهيم داشت:
از استقرا استفاده مي كنيم: فرض مي‌كنيم نامساوي .gif) درست باشد در اين صورت داريم:
براي حل مسأله بايد درستي نامساوي را براي .gif) و .gif) اثبات كنيم. اگر .gif) باشد داريم:
حال بايد رابطه‌ي ذيل را اثبات كنيم:
لذا داريم:
چون داريم:
پس خواهيم داشت:
لذا داريم:
طبق «اصل برتراند» يك عدد اول بين .gif) و .gif) و يك عدد اول بين و .gif) وجود دارد.
لذا حداقل دو عدد بين و وجود خواهد داشت. يعني داريم:
|