دانيل بدشانس (D) داخل دايره‌اي گود مسابقات رم باستان مي‌افته كه شعاع a داره. خُب حتما در فيلم‌ها هم ديديد كه در اون زمان شير يا ببر رو وارد اون گود مي‌كردند و شواليه‌ها يا مبارزين بزرگ بايد با اين حيوانات وحشي دست و پنجه نرم مي‌كردند. ابتدا شير در مركز اين دايره‌ي گود o قرار داره و دانيل در محيط استراتژي با بالاترين سرعت خود u در محيط مي‌دود. شير هم سرعت خودش رو بالا مي‌بره U. در شكل حركت دانيل و شير رو مي‌بينيد. نشان دهيد كه r فاصله‌ي L از O چنين معادله‌اي داره:
آيا r تابعي از t است؟ اگر U>u نشان دهيد شير، دانيل مي‌گيرد و بگوييد چقدر زمان مي‌برد؟ نشان دهيد كه مسير شير يك دايره است. براي حالت خاص كه U=u مسيري را كه شير طي مي‌كند، رسم كنيد و نقطه‌ي رسيدن شير به دانيل را پيدا كنيد.
مختصات قطبي شير در شكل 2 نشان داده شده است. بردار سرعت شير: رابطه‌ي (1) تا وقتي شير در شعاع OD در حال چرخيدن باشد سرعت زاوبه‌اي . و تا هنگامي كه شير با سرعت U در حال دويدن است:
رابطه‌ي (2) كه مي‌توان آن را به‌صورت ذيل نوشت:
رابطه‌ي (3) اين معادله بر حسب مختصات شعاعي (r) است. با ريشه‌ي مريع گرفتن و انتخب جواب مثبت:
رابطه‌ي (4) كه معادله‌ي مرتبه‌ي اول جدايي‌پذير است. بدين صورت كه:
رابطه‌ي (5) كه C انتگرال‌گيري است. شرط اوليه r=0 در t=0 در نتيجه C=0،
رابطه‌ي (6) كه
رابطه‌ي (7)
اين حل معادله براي شعاع برحسب تابع زمان است.
دانيل زماني به دام مي‌افتد كه r=0 و اين زماني است كه
رابطه‌ي (8) اگر U≥u اين معادله يك جواب حقيقي خواهد داشت:
رابطه‌ي (9) و بنابراين دانيل بعد از اين زمان گرفتار شير خواهد شد. وقتي θ=ut/a معادله‌ي قطبي مسير شير چنين است:
رابطه‌ي (10)
اگر اين را با معادله‌ي دايره متناظر بگيريم، آن را با مختصات دركارتي مي‌نويسيم. اگر هر دو طرف ضرب‌در شعاع r شوند دكارتي كار را ساده‌تر مي‌سازد. اين معادله بدين شكل مي‌شود: و يا
اين دايره‌اي است به مركز (0,Ua/2u) و شعاع Ua/2u. توجه كنيد كه شير دايره‌ي كامل را طي نمي‌كند. دانيل وقتي شير طول قوس  گرفتار مي‌شود. براي حالت خاص در U=u (بدين معني كه شير و دانيل سرعت يكساني دارند) مسير شير چنين است:
مركز و شعاع دايره كدام هستند؟
وقتي شير نيمي از دايره را پيموده دانيل گرفتار شير مي‌شود (شكل 2). نقطه‌ي فوق (0,a) است.
|