زنگ تفريح شماره‌ي 33 به بحث درباره‌ي عدد شگفت‌انگيز «پي» اختصاص داشت. در اين قسمت دنباله‌هاي جالبي براي شما در نظر گرفتيم که اثباتي جالب‌تر از يكي از آن‌ها را ارائه مي‌دهيم. در پايان نيز رابطه‌هايي در محاسبه‌ي اين عدد شگفت‌انگيز ذكر مي‌كنيم. اميدواريم مورد توجه شما علاقه‌مندان قرار گيرد.

اگر بخواهيم دنباله‌هايي براي بيان عدد پي – كه توسط دانشمندان پيشنهاد و اثبات شده است – ارائه كنيم موارد ذيل را مي‌توانيم برشمريم:

(رابطه‌ي 1)

(رابطه‌‌ي 2)

(رابطه‌‌ي 3)

(رابطه‌‌ي 4)

(رابطه‌‌ي 5)

(رابطه‌‌ي 6)

(رابطه‌‌ي 7)

اثبات يك دنباله‌ها

اين هم دنباله‌اي منتخب با اثبات آن:

(رابطه‌‌ي 8)

به‌طوري که جمله‌ي ام عبارت است از:

(رابطه‌‌ي 9)

همان‌طور که مشاهده مي‌کنيد علامت جمله‌ها به‌صورت دو تا در ميان مثبت و منفي مي‌شوند.

اما اين‌گونه اثبات مي‌کنيم:

(رابطه‌‌ي 10)

به‌طوري که مجموع جمله‌هاي فرد و  مجموع جمله‌هاي زوج هستند.

به‌عبارت ديگر داريم:

(رابطه‌‌ي 12)

حال اگر جمله‌هاي زوج را با يکديگر در نظر بگيريم خواهيم داشت:

که اين مقدار با برابر است؛ چرا که بسط بسيار معروف ذيل را مي‌شناسيم:

(رابطه‌‌ي 14)

با در نظر گرفتن جمله‌هاي فرد هم خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 15)

که اين برابر با  است. به‌عبارت ديگر داريم:

(رابطه‌‌ي 16)

اما در مورد  خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 17)

حال اگر جمله‌هاي زوج اين دنباله را در نظر بگيرم خواهيم داشت:

با در نظر گرفتن جمله‌هاي فرد هم خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 19)

با قرار دادن اين جمله‌ها در کنار هم خواهيم داشت:

دانشمندي به‌نام «جان واليس» (John Wallis) در سال 1034 (1655 ميلادي) رابطه‌ي ذيل را براي عدد پي به‌دست آورد:

«ويليام برونكر» (William Brouncker) در سال 1037 (1658 ميلادي) رابطه‌ي ذيل را براي اين عدد پيشنهاد كرد:

(رابطه‌‌ي 22)

در سال 1044 (1665 ميلادي) «سر آيزاك نيوتن» (Sir Isaac Newton) رابطه‌ي ذيل را براي عدد پي نوشت:

(رابطه‌‌ي 23)

«جيمز گريگوري» (James Gregory) در سال 1050 (1671 ميلادي) رابطه‌ي ذيل را براي عدد پي پيشنهاد داد:

(رابطه‌‌ي 24)

در سال 1053 (1674 ميلادي) «گوتفريد ويلهولم وون لايبنيتز» (Gottfried Wilhelm von Leibniz) نيز رابطه‌ي ذيل را براي عدد پي بيان كرده است:

(رابطه‌‌ي 25)

«لئونارد اولر» (Leonhard Euler) در سال 1127 (1748 ميلادي) از رابطه‌ي ذيل براي توصيف عدد پي استفاده كرد:

(رابطه‌‌ي 26)

هم‌چنين رابطه‌هاي انتگرالي ذيل نيز براي اين عدد شگفت‌انگيز بيان شده است:

 
(رابطه‌‌ي 27)

هم‌چنين روابط ديگري نيز براي عدد پي ذكر شده است كه از جمله مي‌توان به موارد ذيل اشاره كرد:

(


رابطه‌‌ي 28)

«جيمز گريگوري»
(James Gregory)
























«گوتفريد ويلهولم وون لايبنيتز»
(Gottfried Wilhelm von Leibniz)
























«سر آيزاك نيوتن»
(Sir Isaac Newton)
























«لئونارد اولر»
(Leonhard Euler)
























«ويليام برونكر»
(William Brouncker)





















«جان واليس»
(John Wallis)