مي‌خواهيم زمان ناپديد شدن حباب صابون متصل شده به اتمسفر به‌وسيله‌ي يك حلقه‌ي باريك را محاسبه كنيم. بنابراين بايد فرض كنيم مراحل به‌قدر كافي كُند هستند كه بتوان:
| الف - اثر چسبندگي حباب صابون و زمان موردنياز براي اين‌كه مايع در ديواره‌ي حباب تا شكل آن دوباره تعديل شود را ناديده گرفته‌ايم. ب - فرض مي‌كنيم اين مرحله تقريباً استاتيك است با وجود تغيير ثابت حجم حباب يعني Eg از معادله‌ي لاپلاس استفاده مي‌كنيم و فرض مي‌كنيم كه فشار درون حباب در همه‌جا ثابت است.
ج) جريان هوا را در حلقه به‌صورت خطي (لايه‌اي) در نظر مي‌گيريم. |
تفاوت فشار بين درون و بيرون حباب كروي از رابطه‌ي لاپلاس به‌دست مي‌آيد:
s كشش سطحي آب صابون است (حدود 0.025N/m ) و r شعاع حباب است. در رابطه‌ي بالا پيش‌فاكتور اضافي 2 را در نظر مي‌گيريم؛ چرا كه حباب دو سطح دارد.
اگر چسبندگي هوا را ناديده گرفته و جريان خطي (لايه‌اي) را در نظر بگيريم، رابطه‌ي برنولي براي بيان اين اختلاف فشار با سرعت جريان V درون لوله چنين است:
D چگالي هواست (.gif) ). اگر مساحت سطح مقطع لوله A باشد به آساني مي‌توان جريان خارجي هوا را از طريق حلقه‌ي باريك با كاهش شعاع حباب توصيف كرد:
سه رابطه‌ي بالا يك رابطه‌ي ديفرانسيلي تشكيل مي‌دهد كه آهنگ تغيير شعاع حباب را تعيين مي‌كند:
از اين رابطه انتگرال مي‌گيريم با اين فرض كه در طول زمان T شعاع صابون از مقدار اوليه‌ي R به صفر برسد:
به‌عنوان مثال اگر حلقه‌اي با قطر R=0.05m و سرعت يكسان (V) باشد، چنين به‌دست مي‌آيد كه نشان مي‌دهد سرعت با فاصله از محور مركزي حلقه وابسته است. اين نتيجه با به‌كار بردن سطح مقطع كوچك‌تر حلقه مي‌تواند روي محاسبه اثر بگذارد.
به اين روش مي‌توان به‌طور مستقيم عدد «رينولدز» (Reynolds) را براي سرعت‌هاي جريان اين‌چنيني و پيش‌بيني‌شده و براي محدوده‌ي شعاع حباب بين 1 تا 10 سانتي‌متر و قطر حلقه‌ي چند ميلي‌متري تخمين زد. عدد «رينولدز» (Reynolds) بين 1 تا 10 به دست مي‌آيد؛ يعني مقدار آن را در اين مشتق‌گيري به‌اندازه‌ي كافي كم (نسبتاً كم) براي به‌دست آوردن جريان خطي (لايه‌اي) فرض كرده‌ايم.
|