دوشنبه ۳۱ ارديبهشت ۱۴۰۳   |  كاربر مهمان  |    
 XMod FormView
اين ماژول نياز به پيكربندي دارد
 XMod
 test
 تعقيب: دانيل و شير! (مسابقه‌ي شماره‌ي 62)
تعقيب: دانيل و شير! (مسابقه‌ي شماره‌ي 62)مسابقه فيزيك
حركت دوراني و تحليل برداري...سؤال همراه با جواب

تعقيب: دانيل و شير!






اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.


چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
    - «دانش امور كلي و مسائل انتزاعي» > «دانش اصل‌ها و تعميم‌ها»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «درون‌يابي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل عناصر»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
   - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه اقدام‌هاي پيشنهادي»

 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با «بردارها» > «محاسبه‌ي شتاب و سرعت»
    - معادله‌ي ديفرانسيل > مشتق جزئي
 محتواي آموزشي
    - شرايط مرزي در مكانيك
    - شتاب دوراني 
    - رابطه‌ي زمان با معادله‌ي حركت و وابستگي مستقيم آن‌ها 

سؤال

دانيل بدشانس (D) داخل دايره‌اي گود مسابقات رم باستان مي‌افته كه شعاع a داره. خُب حتما در فيلم‌ها هم ديديد كه در اون زمان شير يا ببر رو وارد اون گود مي‌كردند و شواليه‌ها يا مبارزين بزرگ بايد با اين حيوانات وحشي دست و پنجه نرم مي‌كردند. ابتدا شير در مركز اين دايره‌ي گود o قرار داره و دانيل در محيط استراتژي با بالاترين سرعت خود u در محيط مي‌دود. شير هم سرعت خودش رو بالا مي‌بره U. در شكل حركت دانيل و شير رو مي‌بينيد. نشان دهيد كه r فاصله‌ي L از O چنين معادله‌اي داره:

آيا r تابعي از t است؟ اگر U>u نشان دهيد شير، دانيل مي‌گيرد و بگوييد چقدر زمان مي‌برد؟

نشان دهيد كه مسير شير يك دايره‌ است. براي حالت خاص كه U=u مسيري را كه شير طي مي‌كند، رسم كنيد و نقطه‌ي رسيدن شير به دانيل را پيدا كنيد.
 

 

جواب

مختصات قطبي شير در شكل 2 نشان داده شده است. بردار سرعت شير:

رابطه‌ي (1)

تا وقتي شير در شعاع OD در حال چرخيدن باشد سرعت زاوبه‌اي . و تا هنگامي كه شير با سرعت U در حال دويدن است:

رابطه‌ي (2)

كه مي‌توان آن را به‌صورت ذيل نوشت:

رابطه‌ي (3)

اين معادله بر حسب مختصات شعاعي (r) است. با ريشه‌ي مريع گرفتن و انتخب جواب مثبت:

رابطه‌ي (4)

كه معادله‌ي مرتبه‌ي اول جدايي‌پذير است. بدين صورت كه:

رابطه‌ي (5)

كه C انتگرال‌گيري است. شرط اوليه r=0 در t=0 در نتيجه C=0،

رابطه‌ي (6)

كه

رابطه‌ي (7)


اين حل معادله‌ براي شعاع برحسب تابع زمان است.

دانيل زماني به دام مي‌افتد كه r=0 و اين زماني است كه

رابطه‌ي (8)

اگر U≥u اين معادله يك جواب حقيقي خواهد داشت:

رابطه‌ي (9)

و بنابراين دانيل بعد از اين زمان گرفتار شير خواهد شد. وقتي θ=ut/a معادله‌ي قطبي مسير شير چنين است:

رابطه‌ي (10)

اگر اين را با معادله‌ي دايره متناظر بگيريم، آن را با مختصات دركارتي مي‌نويسيم. اگر هر دو طرف ضرب‌در شعاع r شوند دكارتي كار را ساده‌تر مي‌سازد. اين معادله بدين شكل مي‌شود:

و يا


اين دايره‌اي است به مركز (0,Ua/2u) و شعاع Ua/2u. توجه كنيد كه شير دايره‌ي كامل را طي نمي‌كند. دانيل وقتي شير طول قوس  گرفتار مي‌شود. براي حالت خاص در U=u (بدين معني كه شير و دانيل سرعت يكساني دارند) مسير شير چنين است:

مركز و شعاع دايره كدام هستند؟
 وقتي شير نيمي از دايره را پيموده دانيل گرفتار شير مي‌شود (شكل 2). نقطه‌ي فوق (0,a) است.

1387/2/2لينک مستقيم
فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/20
مـتـن : منم نظر محمد جواد رو دارم
فرستنده :
farid_s tabriz HyperLink HyperLink 1387/3/16
مـتـن : avval rabeteye sorat tu mokhtassate gotbi ro minevisim U=sqrt(rdot^2+(r*tetadot)^2) va midunim ke tetadot= u/a , ba morattab kardane moadele miresim be moadele'e ke soal khaste.
hala ba antegral gereftan az hamun moadele(ke ye moadeleye difransiyeliye) miresim be r=(aU/u)sin(ut/a) ke tabe'e sinusi az "t"ye.
vase inke L beD berese bayad r=a pas tu formule ghesmate ghabl bejaye r mizarim a => sin(ut/a)=u/U ,chon sin<1 pas u/U<1 pas U>u."t"ham miad (a/u)Arcsin(u/U).
midunim ke teta=ut/a va r=(aU/u)sin(ut/a) ,ba tashkile (r*costeta-x0)^2 + (r*sinteta-y0)^2=R^2 ,
ba estefade az mostaghel budane R az t va halle in moadele miresim be x0=0 y0=aU/2u R=aU/2u ,
in moadele tu halate khasse masale mishe y0=a/2 R= a/2 yani L tu teta=90 dorost balaye O be D mirese!
lotfan natijaro behem begin,thanks. f.s
پاسـخ : يك كارهايي توو محاسبات ات كردي؛ جواب رو ميگذارم متوجه راه حل دقيق ميشي.
فرستنده :
سید محمد جواد سید طالبی HyperLink HyperLink 1387/3/16
مـتـن : چون شیر هرجا که دانیل را می بیند به آن سمت حرکت میکند پس نتیجه میگیریم که راستای حرکت شیر همیشه به سمت او است .
مسلما برای اینکه این هدف محقق شود شیر باید همواره سرعت زاویه ای برابر دانیل داشته باشد این به زبان ریاضی اینگونه است
d(theta) /dt=u/a
از انجایی که سرعت کل شیر ثابت است داریم
r*d(theta)/dt)^2+(dr/dt)^2=U^2)
اگر مقدار سرعت زاویه ای را از معادله اول در معادله دوم جاگذاری کنیم با اندکی تغییرات به معادله داده شده در متن سوال میرسیم.
این معادله خود معادله دیفرانسیلی است که r را بر حسب زمان معین میکند
برای حل این معادله کافیست از طرفین رادیکال گرفته و طرفین را به سمت راست آن تقسیم کنیم در نتیجه انتگرالی به دست می اید که جواب آن آرک سینوس است جواب نهایی آن این است
arc sin(ur/Ua)=ut/a
که نتیجه آن اینست
r=Ua/u*sin(ut/a) v
وقتی شیر دانیل را میگیرد r=a میگردد پس داریم
t= a/u * arc sin(u/U) b
از معادله بالا پیداست که U>u باید باشد

حالا اگر بخواهیم در مورد مسیر صحبت کنیم کافی است مقدار زاویه را باتوجه به معادله اول در مورد سرعت زاویه ای بیان کنیم داریم
theta= u/a *t
حال اگر این مقدار را در معادله r جاگذاری کنیم به ما میدهد
r=Ua/u sin(theta) b
این معادله مسیر در مختصات قطبی است که با توجه به حالت خاص داده شده در مسیله یعنی u=U به این معادله تبدیل میگردد
r=a*sin(theta) n
که اگر آنرا به مختصات دکارتی ببریم داریم
x^2+(y-a/2)^2=(a/2) ^2
که این معادله دایره ای به قطر a است که آن مسیر دانیل را در بالاترین نقطه قطع میکند.
پاسـخ : بسيار عالي بود محمد جواد عزيز
نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 Blog List
 New Blog
شما بايد وارد شده واجازه ساخت و يا ويرايش وبلاگ را داشته باشيد.
 تعقيب: دانيل و شير! (مسابقه‌ي شماره‌ي 62)
تعقيب: دانيل و شير! (مسابقه‌ي شماره‌ي 62)مسابقه فيزيك
حركت دوراني و تحليل برداري...سؤال همراه با جواب

تعقيب: دانيل و شير!






اشاره
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.


چكيده
اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
    - «دانش امور كلي و مسائل انتزاعي» > «دانش اصل‌ها و تعميم‌ها»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «درون‌يابي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل عناصر»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
   - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه اقدام‌هاي پيشنهادي»

 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با «بردارها» > «محاسبه‌ي شتاب و سرعت»
    - معادله‌ي ديفرانسيل > مشتق جزئي
 محتواي آموزشي
    - شرايط مرزي در مكانيك
    - شتاب دوراني 
    - رابطه‌ي زمان با معادله‌ي حركت و وابستگي مستقيم آن‌ها 

سؤال

دانيل بدشانس (D) داخل دايره‌اي گود مسابقات رم باستان مي‌افته كه شعاع a داره. خُب حتما در فيلم‌ها هم ديديد كه در اون زمان شير يا ببر رو وارد اون گود مي‌كردند و شواليه‌ها يا مبارزين بزرگ بايد با اين حيوانات وحشي دست و پنجه نرم مي‌كردند. ابتدا شير در مركز اين دايره‌ي گود o قرار داره و دانيل در محيط استراتژي با بالاترين سرعت خود u در محيط مي‌دود. شير هم سرعت خودش رو بالا مي‌بره U. در شكل حركت دانيل و شير رو مي‌بينيد. نشان دهيد كه r فاصله‌ي L از O چنين معادله‌اي داره:

آيا r تابعي از t است؟ اگر U>u نشان دهيد شير، دانيل مي‌گيرد و بگوييد چقدر زمان مي‌برد؟

نشان دهيد كه مسير شير يك دايره‌ است. براي حالت خاص كه U=u مسيري را كه شير طي مي‌كند، رسم كنيد و نقطه‌ي رسيدن شير به دانيل را پيدا كنيد.
 

 

جواب

مختصات قطبي شير در شكل 2 نشان داده شده است. بردار سرعت شير:

رابطه‌ي (1)

تا وقتي شير در شعاع OD در حال چرخيدن باشد سرعت زاوبه‌اي . و تا هنگامي كه شير با سرعت U در حال دويدن است:

رابطه‌ي (2)

كه مي‌توان آن را به‌صورت ذيل نوشت:

رابطه‌ي (3)

اين معادله بر حسب مختصات شعاعي (r) است. با ريشه‌ي مريع گرفتن و انتخب جواب مثبت:

رابطه‌ي (4)

كه معادله‌ي مرتبه‌ي اول جدايي‌پذير است. بدين صورت كه:

رابطه‌ي (5)

كه C انتگرال‌گيري است. شرط اوليه r=0 در t=0 در نتيجه C=0،

رابطه‌ي (6)

كه

رابطه‌ي (7)


اين حل معادله‌ براي شعاع برحسب تابع زمان است.

دانيل زماني به دام مي‌افتد كه r=0 و اين زماني است كه

رابطه‌ي (8)

اگر U≥u اين معادله يك جواب حقيقي خواهد داشت:

رابطه‌ي (9)

و بنابراين دانيل بعد از اين زمان گرفتار شير خواهد شد. وقتي θ=ut/a معادله‌ي قطبي مسير شير چنين است:

رابطه‌ي (10)

اگر اين را با معادله‌ي دايره متناظر بگيريم، آن را با مختصات دركارتي مي‌نويسيم. اگر هر دو طرف ضرب‌در شعاع r شوند دكارتي كار را ساده‌تر مي‌سازد. اين معادله بدين شكل مي‌شود:

و يا


اين دايره‌اي است به مركز (0,Ua/2u) و شعاع Ua/2u. توجه كنيد كه شير دايره‌ي كامل را طي نمي‌كند. دانيل وقتي شير طول قوس  گرفتار مي‌شود. براي حالت خاص در U=u (بدين معني كه شير و دانيل سرعت يكساني دارند) مسير شير چنين است:

مركز و شعاع دايره كدام هستند؟
 وقتي شير نيمي از دايره را پيموده دانيل گرفتار شير مي‌شود (شكل 2). نقطه‌ي فوق (0,a) است.

1387/2/2لينک مستقيم
فرستنده :
ناشناس HyperLink HyperLink 1387/3/20
مـتـن : منم نظر محمد جواد رو دارم
فرستنده :
farid_s tabriz HyperLink HyperLink 1387/3/16
مـتـن : avval rabeteye sorat tu mokhtassate gotbi ro minevisim U=sqrt(rdot^2+(r*tetadot)^2) va midunim ke tetadot= u/a , ba morattab kardane moadele miresim be moadele'e ke soal khaste.
hala ba antegral gereftan az hamun moadele(ke ye moadeleye difransiyeliye) miresim be r=(aU/u)sin(ut/a) ke tabe'e sinusi az "t"ye.
vase inke L beD berese bayad r=a pas tu formule ghesmate ghabl bejaye r mizarim a => sin(ut/a)=u/U ,chon sin<1 pas u/U<1 pas U>u."t"ham miad (a/u)Arcsin(u/U).
midunim ke teta=ut/a va r=(aU/u)sin(ut/a) ,ba tashkile (r*costeta-x0)^2 + (r*sinteta-y0)^2=R^2 ,
ba estefade az mostaghel budane R az t va halle in moadele miresim be x0=0 y0=aU/2u R=aU/2u ,
in moadele tu halate khasse masale mishe y0=a/2 R= a/2 yani L tu teta=90 dorost balaye O be D mirese!
lotfan natijaro behem begin,thanks. f.s
پاسـخ : يك كارهايي توو محاسبات ات كردي؛ جواب رو ميگذارم متوجه راه حل دقيق ميشي.
فرستنده :
سید محمد جواد سید طالبی HyperLink HyperLink 1387/3/16
مـتـن : چون شیر هرجا که دانیل را می بیند به آن سمت حرکت میکند پس نتیجه میگیریم که راستای حرکت شیر همیشه به سمت او است .
مسلما برای اینکه این هدف محقق شود شیر باید همواره سرعت زاویه ای برابر دانیل داشته باشد این به زبان ریاضی اینگونه است
d(theta) /dt=u/a
از انجایی که سرعت کل شیر ثابت است داریم
r*d(theta)/dt)^2+(dr/dt)^2=U^2)
اگر مقدار سرعت زاویه ای را از معادله اول در معادله دوم جاگذاری کنیم با اندکی تغییرات به معادله داده شده در متن سوال میرسیم.
این معادله خود معادله دیفرانسیلی است که r را بر حسب زمان معین میکند
برای حل این معادله کافیست از طرفین رادیکال گرفته و طرفین را به سمت راست آن تقسیم کنیم در نتیجه انتگرالی به دست می اید که جواب آن آرک سینوس است جواب نهایی آن این است
arc sin(ur/Ua)=ut/a
که نتیجه آن اینست
r=Ua/u*sin(ut/a) v
وقتی شیر دانیل را میگیرد r=a میگردد پس داریم
t= a/u * arc sin(u/U) b
از معادله بالا پیداست که U>u باید باشد

حالا اگر بخواهیم در مورد مسیر صحبت کنیم کافی است مقدار زاویه را باتوجه به معادله اول در مورد سرعت زاویه ای بیان کنیم داریم
theta= u/a *t
حال اگر این مقدار را در معادله r جاگذاری کنیم به ما میدهد
r=Ua/u sin(theta) b
این معادله مسیر در مختصات قطبی است که با توجه به حالت خاص داده شده در مسیله یعنی u=U به این معادله تبدیل میگردد
r=a*sin(theta) n
که اگر آنرا به مختصات دکارتی ببریم داریم
x^2+(y-a/2)^2=(a/2) ^2
که این معادله دایره ای به قطر a است که آن مسیر دانیل را در بالاترین نقطه قطع میکند.
پاسـخ : بسيار عالي بود محمد جواد عزيز
نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد
نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:
تاییدانصراف
 Blog Archive
 test
Use module action menu to edit content
 Bonosoft - Link
 Text/HTML
Use module action menu to edit content

سرویس‌های رشد:

فهرست:

وزارت آموزش و پرورش > سازمان پژوهش و برنامه‌ريزی آموزشی
شبکه ملی مدارس ایران (رشد)