کافی نیست که ذهن قوی داشته باشیم،
مسئله اساسی این است که از آن به خوبی استفاده کنیم.
(رنه دکارت)

مقدمه

اغلب، مساله‌های مختلفی را از ماکزیمم و مینیمم، درباره‌ی مجموع‌ها، حاصل‌ضرب تابع‌های مثلثاتی و برای زاویه‌های مثلث، در مجلات ریاضی (که در آشنا کردن مردم با ریاضیات نقش اساسی دارند) مطرح می‌شوند. نابرابری یِنسن، نمونه‌ی خوبی از یگانگی ریاضیات است و نشان می‌دهد که «چگونه می‌توان بسیاری از مسایل مختلف را با یک روش کلی حل کرد».

ینسن

جان ینسن منبع عکس: wikipedia.org

جان ینسن (J. L. W. V. Jensen) (1925-1854)، که بحث ما در این مقاله، بر گِرد نام او دور می‌زند، مهندس و عضو هیات‌مدیره تلفن دانمارک بود. ینسن (که عضو فرهنگستان علوم نیز بود)، قهرمان مطالعه و پژوهش در مورد تابع‌های محدب است.

نابرابری‌های مثلثاتی زیر را داریم که براساس نتایج ساده از توابع مثلثاتی به‌دست می‌آیند:

(*)  α و β دو زاویه با شرط 0≤α≤180° و 0≤β≤180° هستند. داریم:

(1)             

 تساوی زمانی است که:  α=β است.

(**) می‌دانیم: α₁,α₂,…,α_n زاویه‌های مثلثی هستند با شرط 0≤α_j ≤180°  که j = 1, 2, …, n است. داریم:

 (2)               

 برابر تنها زمانی برقرار است که α₁=α₂=...=α_n .
اثبات آسان است و به خواننده واگذار می‎شود.

نتیجه‌های مشابهی برای سایر تابع‌های مثلثاتی مانند کسینوس و ... برقرار است اما نیازی به بحث نیست. نابرابری ینسن این مساله را حل خواهد کرد.

فرض کنید تابع (f(x، برای هر دو مقدار α و β از دامنه‌ی تعریف تابع، با این نابربر ناسازگار باشد:

(دامنه‌ی تعریف تابع بازه‌ای از محور اعداد حقیقی است). در ضمن فرض کنید تساوی تنها برای β=α برقرار باشد. در این صورت برای مجموعه‌ی اعداد حقیقی α₁,α₂,…,α_n از دامنه‌ی تعریف تابع داریم: 

که تساوی تنها برای حالت برابر هم α_i ها رخ می‌دهد. علاوه بر این می‌توان نتیجه‌ی مشابهی را، برای حالتی که نابرابری‌های (1) و (2) در جهت عکس باشند، به‌دست آورد.
اثبات‌ها آسان هستند برای پرهیز از طولانی شدن از ارایه آنها صرف نظر شده است.

تابع f را محدب می‌گوییم، هرگاه برای هردو مقدار x و y  از دامنه‌ی تعریف تابع داشته باشیم:

 با توجه به این تعریف، نتیجه‌ی (*) را نابرابری ینسن درباره‌ی توابع محدب می‌گویند. اکنون به‌آسانی می‌توان نتیجه‌های مربوط به حاصل‌ضرب تابع‌ها را تنظیم کرد:

فرض کنید  تابع (f(x برای هر دو مقدار α و β از دامنه‌ی تعریف تابع، با این نابرابری سازگار باشد:

(3)      

 و تساوی تنها برای α=β برقرار باشد. همچنین دامنه‌ی تعریف تابع را، بازه‌ای از عددهای مثبت روی محور اعداد حقیقی فرض کنید. در این صورت خواهیم داشت:

(4)              

 که تساوی تنها برای α₁ = α₂ = …= α_n برقرار است.

مشابه این نتیجه را، برای حالتی که جهت نابرابرها در (3) و (4) عوض شوند، می‌توان به‌دست آورد.

همان‌طور که اشاره شد، هدف از نگارش این مقاله این است که دانش‌آموزان با روش سودمند و کلی برای حل بسیاری از مساله‌های ماکزیمم و مینیمم دست پیدا کنند و آن را در زندگی روزمره نیز به‌کار گیرند.

 غلامرضا پورقلی