گاز، مایع و جامد را فراموش کنید: ۵۰۰ فاز مختلف ماده داریم. فیزیک ماده چگال دقیقاً جایی است که دنبال این فازها بگردیم. آنچه باعث تفاوت این فازها می‌شود تقارن در اتم‌هاست. برای درک تقارن، تصور کنید کشتی کوچکی در آبهای روان در حال حرکت است: اتم‌ها به صورت کاتوره‌ای اطراف شما که در کشتی هستید، در همه جهات می‌چرخند. جمله تقارن برای فیزیکی‌ها تکنیکی است. وقتی می‌گوییم مولکول یا اتمی متقارن است، بلور یخ، یعنی فاز دیگر آب، تقارن کمی دارد. اگر در یخ هم به همین صورت حرکت کنید، باید ساختارهای بلوری را ببینید که به‌صورت قاعده‌مند و تکرارشونده‌ای آنها را در طول مسیر ببینید. زوایای مختلف نماهای متفاوت به شما خواهند داد. مسیرهای مشخصی بسته هستند، و مسیرهای دیگر باز. یخ تقارن‌های زیادی دارد (هر طبقه یا اتاق) مشابه دیگری است! ولی فیزیکدانان برآنند که تقارن بالای سیال آب در یخ شکسته می‌شود. 

حال این فازها با تقارن‌هایشان تعریف می‌‍شوند. وقتی شکسته می‌شوند پارادایم معروفی بنام لانداؤ بوجود می‌آید. نظریه لانداؤ به این صورت بود که تقارن را مبدأ فازهای ماده می‌دانست و حالا می‌دانیم این نظریه درست است. این روش در ریاضیات باید فرمول بندی شود. توپولوژی طبیعتاً به دلیل وجود تقارن زبان بیان این ویژگی کوانتمی است.

X. Chen, Z.-C. Gu, Z.-X. Liu, X.-G. Wen. Symmetry-Protected Topological Orders in Interacting Bosonic Systems. Science, 2012; 338 (6114): 1604 DOI:10.1126/science.1227224