در اين زنگ تفريح با كمك شما بنا داريم قضيه‌ها و روش‌ها بسياري را در زمينه‌ي «نامساوي‌ها» مطرح كنيم كه مي‌تواند براي حل مسائلي كاربرد داشته باشد كه معمولاً در المپيادهاي رياضي يا رقابت‌هاي كشوري مطرح مي‌شود. بسياري از مسائل در زمينه‌ي نامساوي‌ها از اين قضايا برگرفته شده است. مي‌خواهيم از كمك شما نيز بهره بگيريم لذا سعي مي‌كنيم مطالب را از ساده به مشكل براي‌تان طرح كنيم. هم‌چنين منتظريم كه اشكال مطالب را به ما گوشزد كرده مطالب مفيد ديگري از اين مبحث را به دوستان‌تان منتقل كنيد. در قسمت پيشين، ضمن ارائه‌ي تعاريفي از توابع «محدب» و «مقعر»، به‌طور خلاصه قضاياي ذيل را در نامساوي‌ها مطرح كرديم:
| - قضيه‌ي «ينسن» (Jensen) | | - قضيه‌ي «ميانگين تواني وزن‌دار» (Weighted Power Mean) | | - قضيه‌ي «هولدر» (Holder) | | - قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy) | | - قضيه‌ي «آرايش مجدد» (Rearrangement) | | - قضيه‌ي «چبيشف» (Chebyshev) | | - قضيه‌ي «شور» (Schur). |
در قسمت دوم از اين مبحث، هفت قضيه‌ي اساسي و كاربردي در حل مسائل نامساوي‌ها با عناوين ذيل مطرح مي‌شود:
| - قضيه‌ي «نيوتن» (Newton) | | - قضيه‌ي «مك لورن» (Maclaurin) | | - قضيه‌ي «ترتيب ماجورايزيشن» (Majorization) | | - قضيه‌ي «پوپوويچيو» (Popoviciu) | | - قضيه‌ي «برنولي» (Bernoulli) | | - قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) |
در پايان نيز سه سؤال در كاربرد برخي از اين قضايا همراه با پاسخ تشريحي مطرح خواهيم كرد.
فرض كنيد .gif) اعداد حقيقي غيرمنفي باشند. چندجمله‌اي‌هاي متقارن .gif) را به‌گونه‌اي تعريف كنيد كه داشته باشيم:
(رابطه‌ي 1) هم‌چنين .gif) را به‌عنوان «ميانگين متقارن» (Symmetric Average) به‌صورت ذيل تعريف كنيد:
(رابطه‌ي 2) در اين‌صورت نامساوي ذيل صادق خواهد بود:
(رابطه‌ي 3)
| قضيه‌ي «مك لورن» (Maclaurin) |
فرض كنيد اعداد حقيقي غيرمنفي باشند. چندجمله‌اي‌هاي متقارن را به‌گونه‌اي تعريف كنيد كه داشته باشيم:
(رابطه‌ي 1) هم‌چنين را به‌عنوان «ميانگين متقارن» (Symmetric Average) به‌صورت ذيل تعريف كنيد:
(رابطه‌ي 4) در اين‌صورت نامساوي ذيل صادق خواهد بود:
(رابطه‌ي 5)
در اين‌صورت نامساوي ذيل برقرار است:
(رابطه‌ي 6)
| قضيه‌ي «پوپوويچيو» (Popoviciu) |
فرض كنيدتابع .gif) يك «تابع محدب» بر روي دامنه‌ي .gif) باشد. هم‌چنين فرض كنيد: .gif) . در اين‌صورت براي هر عدد حقيقي و مثبت .gif) داريم:
(رابطه‌ي 7)
| قضيه‌ي «برنولي» (Bernoulli) |
براي هر .gif) و .gif) رابطه‌ي ذيل برقرار است:
(رابطه‌ي 8)
«راب ج. مورهد»
(Robb J. Muirhead) | قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) |
فرض كنيد دنباله‌ي .gif) نسبت به ترتيب (Majorization) از دنباله‌ي .gif) بزرگ‌تر باشد. در اين‌صورت براي هر عدد حقيقي مثبت رابطه‌ي ذيل برقرار است:
(رابطه‌ي 9)كه در آن جمع‌ها .gif) بر روي جايگشت‌هاي .gif) متغير اعمال مي‌شود. ياداوري – اگرچه قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) قضيه‌اي مشهور است ولي معمولاً در جواب سؤال‌هاي المپيادها به‌عنوان قضيه‌اي شناخته‌شده پذيرفته نمي‌شود. اساساً ملاك دارا بودن بزرگ‌تري در ترتيب (Majorization) تضمين مي‌كند كه قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) مي‌تواند از كاربرد مناسب «نامساوي‌ها در ميانگينهاي حسابي و هندسي» استنباط شود. بنابراين هر زمان امكان داشته باشد فقط براي تضمين صحت روابط مي‌توانيد از قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) استفاده كنيد ولي بايد همه‌ي موارد لازم در زمينه‌ي «نامساوي در ميانگينهاي حسابي و هندسي» بهره ببريد.
همه‌ي ما مي‌دانيم براي حل هر نوع مسأله بايد هميشه ابتدا بايد به‌دنبال راه‌حل‌هاي نسبتاً آسان باشيم و تنها بعد از آن است كه به‌سراغ راه‌حل‌هاي متوسط و سخت مي‌رويم. از طرف ديگر به‌وضوح مي‌توان مشاهده كرد كه «سختي» مسأله براي افراد مختلف، متفاوت است. معمولاً در نامساوي‌ها به‌ترتيب بايد از قضاياي ذيل استفاده كنيم و سپس به‌سراغ راه‌حل‌هاي هوشمندانه‌تر برويم:
| - «نامساوي‌ها در متوسط‌هاي حسابي و هندسي» (AM-GM) (Arithmetic and Geometric Means) | | - قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy) | | - قضيه‌ي «چبيشف» (Chebyshev) يا «آرايش مجدد» (Rearrangement) | | - قضيه‌ي «ينسن» (Jensen) | | - قضيه‌ي «هولدر» (Holder). |
روش استفاده از «نامساوي‌ها در ميانگينهاي حسابي و هندسي» را در ياداوري‌هاي بعد از مثال اول ذكر خواهيم كرد. نامساوي‌هاي ساده با استفاده از اين روش حل مي‌شوند. روش استفاده از قضاياي «ينسن» (Jensen) و «هولدر» (Holder) نياز به هوشياري بيش‌تري داشته سخت‌تر است. به‌خاطر آن‌كه عبارت‌هاي نامساوي طولاني بوده هوشياري بيش‌تري مي‌طلبد. اكنون بياييم چند مسأله با هم حل كنيم:
نشان دهيد براي اعداد حقيقي مثبت .gif) ، .gif) و .gif) رابطه‌ي ذيل برقرار است:
(رابطه‌ي 10)
 راه‌حل اول
با استفاده از «نامساوي‌ها در متوسط‌هاي حسابي و هندسي» در عبارت‌هاي داخل پرانتز سمت چپ رابطه‌ي 10 بدين‌صورت به‌دست مي‌آيد:
(رابطه‌ي 11)
راه‌حل دوم
با استفاده از قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy) خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 12)
راه‌حل سوم
سمت چپ رابطه‌ي 10 را بسط داده با استفاده از «نامساوي‌ها در ميانگينهاي حسابي و هندسي» خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 13)
بايد توجه داشت كه قبلاً با استفاده از قضيه‌ي «مورهد» (Muirhead) به صحت رابطه‌ي 10 واقف بوديم به‌خاطر آن‌كه سه‌تايي مرتب‌هاي .gif) ، .gif) و .gif) همگي داراي برتري در ترتيب (Majorization) نسبت به سه‌تايي مرتب هستند.
راهكار ضرب همه‌ي عبارت‌هاي چندجمله‌اي و به‌كار بردن «نامساوي‌ها در ميانگينهاي حسابي و هندسي» به‌همراه اعمال قضيه‌ي «شور» (Schur) معمولاً راه‌حلي غيرهوشمندانه تلقي مي‌شود به‌خاطر آن‌كه تنها نيازمند صبر و حوصله در محاسبه‌ها و محاسبه‌ي حاصلضرب چندجمله‌اي و فاقد هوشمندي است. همان‌طور كه بعداً نشان خواهيم داد روش‌هاي غيرهوشمندانه نيز روش‌هايي ارزشمند و مهم محسوب مي‌شوند. هم‌چنين بايد بگوييم كه اعمال «نامساوي‌ها در ميانگينهاي حسابي و هندسي» بر روي همه‌ي عبارت‌هاي سمت چپ رابطه‌ي 10 يك راه‌حل ضعيف در حل نامساوي محسوب مي‌شود اما نتيجه ضريبي از .gif) (يعني كوچك‌ترين درجه‌ي چندجمله‌اي با سه متغير) خواهد بود. هم‌چنين بايد توجه داشت كه استفاده از «نامساوي‌ها در ميانگينهاي حسابي و هندسي» به‌تنهايي هميشه براي حل مسائل كافي نيست.
فرض كنيد براي اعداد حقيقي مثبت ، و رابطه‌ي ذيل برقرار است:
رابطه‌ي 14) ثابت كنيد رابطه‌ي ذيل صادق است:
(رابطه‌ي 15)
ابتدا نامساوي را همگن (Homogenize) مي‌كنيم؛ يعني به‌گونه‌اي عمل مي‌كنيم كه همه‌ي عبارت‌ها داراي درجه‌ي يكساني باشند. اگر يك نامساوي يكنواخت بوده داراي درجه‌‌اي نظير: .gif) و .gif) ضرايب آن را با فاكتور بگيريم مي‌توان دو طرف نامساوي را به‌صورت مضربي از .gif) نوشت. البته اين كار زماني صحيح است كه براي مقادير مثبت و غير صفر و عدد «زوج» نامساوي هم‌چنان برقرار باشد. بنابراين نياز به تغيير شكل ديگري در رابطه نداريم. در اين حالت طرف چپ رابطه را در .gif) ضرب مي‌كنيم در اين صورت داريم:
(رابطه‌ي 16) از آن‌جايي كه .gif) رابطه‌اي ناهمگن است نامساوي بالا بايد براي هر عدد غيرمنفي ، و برقرار باشد. هم‌چنين از آن‌جايي كه .gif) نسبت به ترتيب (Majorization) از.gif) بزرگ‌تر است با استفاده از «نامساوي‌ها در ميانگينهاي حسابي و هندسي» داريم:
(رابطه‌ي 17)
فرض كنيد .gif) چندجمله‌اي با ضرايب مثبت باشد. ثابت كنيد رابطه‌ي ذيل براي .gif) و .gif) برقرار است:
(رابطه‌ي 18)
فرض كنيد چندجمله‌اي از رابطه‌ي ذيل به‌دست آيد:
(رابطه‌ي 19) ابتدا براي بررسي مي‌كنيم:
(رابطه‌ي 20)
(رابطه‌ي 21) با مقايسه‌ي رابطه‌هاي 21 و 22، رابطه‌ي 19 ثابت مي‌شود. بنابراين راهكار طبيعي آن است كه و .gif) به‌طريقي در .gif) تركيب كنيم. بهترين راه، استفاده از قضيه‌ي «كوشي» (Cauchy) است يعني:
(رابطه‌ي 22)
بدين‌ترتيب مسأله ثابت شد. اين راه‌حل، نمونه‌اي از كاربرد قضاياي «كوشي» (Cauchy) و «هولدر» (Holder) را نشان مي‌دهد. |