تعداد دايره‌هايي با يك نقطه‌ي اشتراك و مماس بر شش دايره‌ي ديگر ... سؤال همراه با جواب
سؤال
يك مجموعه از دايره‌ها در صفحه داده شده است به‌طوري كه هر دو دايره حداكثر يك نقطه‌ي مشترك دارند. هم‌چنين هر دايره حداقل بر 6 دايره مماس است. ثابت كنيد تعداد دايره‌هاي اين مجموعه نامتناهي است!؟
جواب
فرض كنيد 
تعداد دايره‌ها متناهي باشد و 
دايره‌اي با كوچك‌ترين شعاع در اين مجموعه باشد. شعاع را برابر 
مي‌گيريم. حداقل بر شش دايره‌ي 
مماس است.
فرض كنيد 
مركز 
باشد كه در آن داشته باشيم:
هم‌چنين بين 
هيچ دايره‌اي مماس بر موجود نباشد كه در آن داشته باشيم:
لذا زاويه‌هاي 
به‌ترتيب مجاور يكديگر هستند.
بنا به تعريف ، 
بلندترين ضلع مثلث 
است و لذا 
.
به‌طور مشابه ، .
از طرفي مجموع اين شش زاويه برابر 
است و لذا هر يك از اين زاويه‌ها برابر 
هستند و مثلث‌هاي متناظر متساوي‌الاضلاع مي‌باشند.
بنابراين شعاع دايره‌هاي برابر است كه 
نيز دايره‌اي با كوچك‌ترين شعاع مي‌باشد.
چنان‌چه همين استدلال را تكرار كنيم نتيجه مي‌شود دايره‌اي با شعاع مماس بر وجود دارد كه مركز آن در امتداد پاره‌خط 
قرار دارد.
با تكرار اين استدلال نتيجه مي‌شود در امتداد پاره‌خط بي‌نهايت دايره به شعاع وجود دارد و اين با فرض اوليه در تناقض است. تناقض حاصل حكم مسأله را ثابت مي‌كند.