بعضي كشف اعداد «مختلط» (Complex) را به رياضيدان ايتاليايي «گيرولامو كاردانو» (Girlamo Cardano) منتسب مي‌كنند. وي تلاش مي‌كرد جواب «معادله‌ها از درجه‌ي 3» (Cubic Equations) را بيابد. اين معادله‌ها بعضاً منجر به محاسبه‌هاي ريشه‌هاي دوم اعداد «منفي» مي‌شد.
وي براي اين‌منظور از «جزو موهومي» (Imaginary Unit) استفاده كرده بدين‌شكل آن را تعريف نمود:
(رابطهي 4)
يك عدد «مختلط» عموماً به‌شكل ذيل نوشته مي‌شوند:
(رابطهي 5)در اين صورت بخش «حقيقي» و بخش «موهومي» عدد «مختلط» مذكور ناميده مي‌شود.
ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > اعداد مختلط)
اگر .gif)
عددي مختلط نظير ذيل باشد:
(رابطهي 6).gif)
را «مزدوج» (Conjugate) آن مي‌گويند و از رابطهي ذيل به‌دست مي‌آيد:
(رابطهي 7)ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > اعداد مختلط > zبار)
| قضايايي از اعداد مختلط |
| ج – قضيه‌ي خطوط موازي، عمود بر هم و متقاطع |
سه‌نقطه‌ي .gif)
، .gif)
و .gif)
را در نظر بگيريد؛ براي اين سه نقطه چهار حالت متصور است:
ويژگي‌هاي دايره‌ي واحد شامل مواد ذيل است:
هـ – شرط لازم و كافي براي آن‌كه نقاط ، ، و .gif)
به يك دايره تعلق داشته باشند آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 15)ياداوري - براي توضيح بيش‌تر به‌نشاني ذيل مراجعه فرماييد:
(المپياد رياضي > آموزش > هندسه‌ي اعداد مختلط > هم‌خط بودن و هم‌دايره بودن)
و - شرط لازم و كافي براي آن‌كه مثلث‌هاي .gif)
و .gif)
مشابه بوده و ترتيب نام‌گذاري آن‌ها متناسب با نقاط متناظر باشند آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 16)
ز - مساحت يك مثلث از رابطهي ذيل به‌دست مي‌آيد:
(رابطهي 17)
ح – قضاياي ذيل را بدون اثبات مي‌پذيريم:
|  شرط لازم و كافي براي آن‌كه نقطه‌ي پاره‌خط .gif) را به‌نسبت .gif) تقسيم كند آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 18)
|
| شرط لازم و كافي براي آن‌كه .gif) محل تقاطع ميانه‌هاي مثلث باشد آن است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 19)
|
| اگر .gif) محل تقاطع ارتفاع‌ها در مثلث باشد در اين‌صورت رابطهي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطهي 20) |
ط - فرض كنيد دايره‌اي به‌شعاع واحد (دايره‌ي مثلثاتي) در يك مثلث محاط شده باشد به‌گونه‌اي كه با اضلاع .gif)
، .gif)
و به‌ترتيب در نقاط .gif)
، .gif)
و .gif)
مماس باشد:
| - طول اضلاع مثلث از روابط ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 21)
|
| - محل تقاطع ارتفاع‌ها از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 22) |
ي – قضيه
براي هر مثلث كه در يك دايره‌ي با شعاع واحد (دايره‌ي مثلثاتي) محاط شده است تعدادي عدد نظير: .gif)
، .gif)
و .gif)
وجود دارد به‌گونه‌اي كه روابط ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 23)
(رابطهي 24)
(رابطهي 25)هم‌چنين .gif)
، .gif)
و .gif)
به‌ترتيب نقاط مياني كمان‌هاي ، و هستند كه شامل ، و نمي‌شوند.
ك – مثلث .gif)
كه در آن يك رأس «صفر» است و دو رأس ديگر باقي‌مانده .gif)
و .gif)
هستند:
| - اگر محل تقاطع ارتفاع‌هاي مثلث است در اين‌صورت رابطهي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطهي 26)
|
| - اگر .gif) محل تقاطع ميانه‌هاي مثلث است در اين‌صورت رابطهي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطهي 27) |
ل – اگر نقطه‌ي با دوران نقطه‌ي حول نقطه‌ي با زاويه‌ي .gif)
(در جهت مثبت) به‌دست آيد در اين صورت رابطهي ذيل برقرار خواهد بود:
(رابطهي 28).